Znajdź wielomian trzeciego stopnia (punkty niezerowe)

[malpa587]

Witajcie!

Znajdź wielomian \(\displaystyle{ f(x)}\) trzeciego stopnia, taki że \(\displaystyle{ f(1)=-4,f(2)=3,f(-1)=6,f(-2)=1}\)

[kerajs]

Rozwiąż układ :
\(\displaystyle{ \begin{cases} a \cdot 2^3+b \cdot 2^2+c \cdot 2 +d=3 \\ a \cdot 1^3+b \cdot 1^2+c \cdot 1 +d=-4 \\ a \cdot (-1)^3+b \cdot (-1)^2+c \cdot (-1) +d=6 \\ a \cdot (-2)^3+b \cdot (-2)^2+c \cdot (-2) +d=1 \end{cases}}\)

Edit.

Po żmudnych i niewiarygodnie czasochłonnych rachunkach, których nie sposób tu zamieścić, dostaje się:
\(\displaystyle{ y= \frac{11}{6} x^3+ \frac{2}{6} x^2- \frac{41}{6} x+ \frac{4}{6}}\)

[Milczek]

Witajcie!

Znajdź wielomian \(\displaystyle{ f(x)}\) trzeciego stopnia, taki że \(\displaystyle{ f(-2)-1}\)

A to do czego potrzebne?

[malpa587]

Witajcie!

Znajdź wielomian \(\displaystyle{ f(x)}\) trzeciego stopnia, taki że \(\displaystyle{ f(-2)-1}\)

A to do czego potrzebne?

Sorry, poprawiłem. Powinno być \(\displaystyle{ f(-2)=1}\)-- 13 sty 2016, o 18:33 --

Rozwiąż układ :
\(\displaystyle{ \begin{cases} a \cdot 2^3+b \cdot 2^2+c \cdot 2 +d=3 \\ a \cdot 1^3+b \cdot 1^2+c \cdot 1 +d=-4 \\ a \cdot (-1)^3+b \cdot (-1)^2+c \cdot (-1) +d=6 \\ a \cdot (-2)^3+b \cdot (-2)^2+c \cdot (-2) +d=1 \end{cases}}\)

Edit.

Po żmudnych i niewiarygodnie czasochłonnych rachunkach, których nie sposób tu zamieścić, dostaje się:
\(\displaystyle{ y= \frac{11}{6} x^3+ \frac{2}{6} x^2- \frac{41}{6} x+ \frac{4}{6}}\)

Czy ta metoda jest poprawna?(lub co robię źle):
\(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{cccc|c}
2^3& 2^2& 2^1& 2^0& 3\\
1^3& 1^2& 1^1& 1^0& 4\\
-1^3& -1^2& -1^1& -1^0& 6\\
-2^3& -2^2& -2^1& -2^0& 1
\end{array}\right]
=
\left[
\begin{array}{cccc|c}
8& 4& 2& 1& 3\\
1& 1& 1& 1& 4\\
-1& 1& -1& 1& 6\\
-8& 4& -2& 1& 1
\end{array}\right]
\begin{array}{c}
\\ \\W_3+W_2 \\W_4+W_1
\end{array}
=
\left[
\begin{array}{cccc|c}
8& 4& 2& 1& 3\\
1& 1& 1& 1& 4\\
0& 2& 0& 2& 10\\
0& 8& 0& 2& 4
\end{array}\right]
\begin{array}{c}
\\ W_2\cdot 8 \\ \\W_4-4W_3
\end{array}
=
\left[
\begin{array}{cccc|c}
8& 4& 2& 1& 3\\
0& 2& 0& 2& 10\\
8& 8& 8& 8& 32\\
0& 0& 0& -6& -36
\end{array}\right]
\begin{array}{c}
\\W_2/2 \\W_3-W_1 \\ W_4/-6
\end{array}
=
\left[
\begin{array}{cccc|c}
8& 4& 2& 1& 3\\
0& 1& 0& 1& 5\\
0& 4& 6& 7& 29\\
0& 0& 0& 1& 6
\end{array}\right]
\begin{array}{c}
W_1-W_3\\W_2-W_4 \\ \\
\end{array}
=}\)\(\displaystyle{ =
\left[
\begin{array}{cccc|c}
8& 0& -4& -6& -26\\
0& 1& 0& 0& -1\\
0& 4& 6& 7& 29\\
0& 0& 0& 1& 6
\end{array}\right]
\begin{array}{c}
W_1+6W_4\\ \\W_3-4W_2 \\
\end{array}
=
\left[
\begin{array}{cccc|c}
8& 0& -4& 0& 10\\
0& 1& 0& 0& -1\\
0& 0& 6& 7& 33\\
0& 0& 0& 1& 6
\end{array}\right]
\begin{array}{c}
W_1/2\\ \\W_3-7W_4
\end{array}
=
\left[
\begin{array}{cccc|c}
4& 0& -2& 0& 5\\
0& 1& 0& 0& -1\\
0& 0& 6& 0& -11 \\
0& 0& 0& 1& 6
\end{array}\right]
\begin{array}{c}
\\ \\ W_3/6 \\
\end{array}
=
\left[
\begin{array}{cccc|c}
4& 0& -2& 0& 5\\
0& 1& 0& 0& -1\\
0& 0& 1& 0& -\frac{11}{6} \\
0& 0& 0& 1& 6
\end{array}\right]
\begin{array}{c}
W_1+2W_3 \\ \\ \\
\end{array}
=
\left[
\begin{array}{cccc|c}
4& 0& 0& 0& \frac{4}{3} \\
0& 1& 0& 0& -1\\
0& 0& 1& 0& -\frac{11}{6} \\
0& 0& 0& 1& 6
\end{array}\right]
\begin{array}{c}
W_1/4 \\ \\ \\
\end{array}=
\left[
\begin{array}{cccc|c}
1& 0& 0& 0& \frac{1}{3} \\
0& 1& 0& 0& -1\\
0& 0& 1& 0& -\frac{11}{6} \\
0& 0& 0& 1& 6
\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ y= \frac{1}{3} x^3-1 x^2- \frac{11}{6} x+ 6}\)

[a4karo]

Cos musiało pójść źle w rachunkach: kerajs ma rację, a wielomian jest jedyny

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ f(1)=-4,f(2)=3,f(-1)=6,f(-2)=1}\)

\(\displaystyle{ f\left( x\right)=-4 \frac{\left( x-2\right)\left( x+1\right)\left( x+2\right) }{\left( 1-2\right)\left( 1+1\right)\left( 1+2\right) }+3 \frac{\left( x-1\right)\left( x+1\right)\left( x+2\right) }{\left( 2-1\right)\left( 2+1\right)\left( 2+2\right) }+6 \frac{\left( x-1\right)\left( x-2\right)\left( x+2\right) }{\left( -1-1\right)\left( -1-2\right)\left( -1+2\right) }+ \frac{\left( x-1\right)\left( x-2\right)\left( x+1\right) }{\left( -2-1\right)\left( -2-2\right)\left( -2+1\right) }\\
f\left( x\right)=\frac{2}{3}\left( x-2\right)\left( x+1\right)\left( x+2\right)+\frac{1}{4}\left( x-1\right)\left( x+1\right)\left( x+2\right) +\left( x-1\right)\left( x-2\right)\left( x+2\right)-\frac{1}{12}\left( x-1\right)\left( x-2\right)\left( x+1\right)\\
f\left( x\right)=\frac{2}{3}\left( x^2-4\right)\left( x+1\right)+ \frac{1}{4}\left( x^2-1\right)\left( x+2\right)+\left( x^2-4\right)\left( x-1\right)-\frac{1}{12}\left( x^2-1\right)\left( x-2\right)\\
f\left( x\right)=\frac{1}{3}\left( x^2-4\right)\left(5x-1\right) +\frac{1}{6}\left( x^2-1\right)\left( x+4 \right)}\)


Można też uogólnić dwupunktowe równanie prostej
(różnice dzielone Newtona)