Zadanie maturalne z wielomianem. Nie jasna kwestia...

Gambit · Post autor: **Gambit** » 10 sie 2007, o 18:42

Witam,
na tegorocznej maturze było następujące zadanie:

Przedstaw wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^4-2x^3-3x^2+4x-1}\) w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych i takich, że współczynniki przy drugich potęgach są równe jeden.

Rozwiązanie, które zasugerowane jest w to zapisanie danego wielomianu w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia drugiego takich, że współczynniki przy drugich potęgach są równe jeden:
\(\displaystyle{ W(x)=(x^2 + ax + b)(x^2 +cx+d)=x^4+cx^3+dx^2+ax^3+acx^2+adx+bx^2+bcx+bd=x^4+(a+c)x^3+(d+ac+b)x^2+(ad+bc)x+bd}\)
a następnie porównanie współczynników powyższego wielomianu z wielomianem z treści zadania, przy stwierdzeniu, że skoro \(\displaystyle{ bd=-1}\) to b i d muszą być liczbami różnych znaków, np. \(\displaystyle{ b=1; d=-1}\) (lub \(\displaystyle{ b=1; d=-1}\)) [...]
Przechodząc do sedna sprawy, dlaczego nie ma znaczenia czy przyjmiemy, że \(\displaystyle{ b=1; d=-1}\) czy też, że \(\displaystyle{ b=1; d=-1}\)? Kiedy miałoby to znaczenie (powodowałoby błędny wynik jeśli wybralibyśmy złą opcję)? W jakich sytuacjach (podobnych lub nie) zamiana wartości parametrów nie zepsuje nam wyniku?

Pozdrawiam,
Gambit

alef_0 · Post autor: **alef_0** » 10 sie 2007, o 20:10

nie ma znaczenia bo mnożenie jest przemienne

luka52 · Post autor: **luka52** » 10 sie 2007, o 20:22

Jeżeli b=1 i d=-1, to wtedy będzie:
\(\displaystyle{ W(x) = (x^2 - 3x + 1)(x^2 + x -1)}\)
Natomiast gdy b=-1 i d=1, to:
\(\displaystyle{ W(x) = (x^2 + x - 1)(x^2 - 3x +1)}\)
Oba te przypadki prowadzą do tego samego wyniku.

Gambit · Post autor: **Gambit** » 11 sie 2007, o 14:15

alef_0 pisze:nie ma znaczenia bo mnożenie jest przemienne

No co Ty...

luka52 pisze:Jeżeli b=1 i d=-1, to wtedy będzie:
\(\displaystyle{ W(x) = (x^2 - 3x + 1)(x^2 + x -1)}\)
Natomiast gdy b=-1 i d=1, to:
\(\displaystyle{ W(x) = (x^2 + x - 1)(x^2 - 3x +1)}\)
Oba te przypadki prowadzą do tego samego wyniku.

A skąd mam wiedzieć bez sprawdzania czy oba przypadki w innych, podobnych sytuacjach dają ten sam wynik? Da się w ogóle wywnioskować to bez weryfikacji?

max · Post autor: **max** » 13 sie 2007, o 19:35

\(\displaystyle{ \begin{cases} a + c = -2 \\ ac = -3 \\ c - a = 4\end{cases}\\
\begin{cases} a + c = -2 \\ ac = -3 \\ a - c = 4\end{cases}}\)
Teraz pomyśl czym różnią się te układy równań i czym będą różnić się wyniki...

sztuczne zęby · Post autor: **sztuczne zęby** » 14 sie 2007, o 11:29

Zawsze, jak się nie ma pewności można rozważyć oba przypadki i dojśc do wniosku, że dają ten sam wynik. To nie zajmuję tak wiele czasu.

Gambit · Post autor: **Gambit** » 15 sie 2007, o 17:14

Dzięki wszystkim za pomoc! Najbardziej satysfakcjonującą dla mnie odpowiedź dał szuczne zęby (+1 pomoc) W takich sytuacjach będę zawsze sprawdzał oba przypadki.