na tegorocznej maturze było następujące zadanie:
Rozwiązanie, które zasugerowane jest w to zapisanie danego wielomianu w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia drugiego takich, że współczynniki przy drugich potęgach są równe jeden:Przedstaw wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^4-2x^3-3x^2+4x-1}\) w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych i takich, że współczynniki przy drugich potęgach są równe jeden.
\(\displaystyle{ W(x)=(x^2 + ax + b)(x^2 +cx+d)=x^4+cx^3+dx^2+ax^3+acx^2+adx+bx^2+bcx+bd=x^4+(a+c)x^3+(d+ac+b)x^2+(ad+bc)x+bd}\)
a następnie porównanie współczynników powyższego wielomianu z wielomianem z treści zadania, przy stwierdzeniu, że skoro \(\displaystyle{ bd=-1}\) to b i d muszą być liczbami różnych znaków, np. \(\displaystyle{ b=1; d=-1}\) (lub \(\displaystyle{ b=1; d=-1}\)) [...]
Przechodząc do sedna sprawy, dlaczego nie ma znaczenia czy przyjmiemy, że \(\displaystyle{ b=1; d=-1}\) czy też, że \(\displaystyle{ b=1; d=-1}\)? Kiedy miałoby to znaczenie (powodowałoby błędny wynik jeśli wybralibyśmy złą opcję)? W jakich sytuacjach (podobnych lub nie) zamiana wartości parametrów nie zepsuje nam wyniku?
Pozdrawiam,
Gambit