Próbowałem wyznaczyć dziedzinę, ale w końcu się pogubiłem.
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{7x}{ \sqrt{\left| x ^{3} - 2x \right| } -3x}}\)
Pociesza mnie fakt, że chociaż tyle mam raczej dobrze :
\(\displaystyle{ D= \left\{x:x \in R \wedge \sqrt{\left| x ^{3}-2x \right| } -3x \neq 0 \wedge x ^{3}-2x \ge 0\right\}}\)
Problem z wyznaczeniem dziedziny
-
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
Problem z wyznaczeniem dziedziny
Raczej dobrze.. no niestety masz tylko częściowo dobrze
pod pierwiastkiem jest wartość bezwzględna (zawsze nieujemna) więc nie trzeba \(\displaystyle{ x^3-2x\ge0}\)
Wystarczy tylko rozwiązać nierówność \(\displaystyle{ \sqrt{\left| x^3-2x\right| }-3x\ne0}\)
Nierówność ze znakiem \(\displaystyle{ \ne}\) polega na wykluczeniu ze zbioru \(\displaystyle{ R}\) pojedynczych liczb.
Rozwiązując równanie \(\displaystyle{ \sqrt{\left| x^3-2x\right| }-3x=0}\) znajdujemy wszystkie liczby \(\displaystyle{ x}\), które trzeba wykluczyć z dziedziny funkcji
\(\displaystyle{ \sqrt{\left| x^3-2x\right| }=3x \ \ \ \ \ \ | ()^2}\)
W powyższym równaniu mamy po lewej pierwiastek (więc lewa strona jest na pewno nieujemna), no to żeby była równość, to i prawa strona musi być nieujemna, zatem robimy zastrzeżenie \(\displaystyle{ 3x\ge0}\) czyli \(\displaystyle{ x\ge0}\).
Od tej pory, wszystkie ujemne iksy, które będą "rozwiązaniami" równania, musimy odrzucić.
\(\displaystyle{ \left| x^3-2x\right| = 9x^2\\ x^3-2x =9x^2\ \ \ \vee\ \ \ x^3-2x = -9x^2}\)
W powyższym, korzystam z własności \(\displaystyle{ |a|=b\ \to \ a=b\ \vee\ a=-b}\)
\(\displaystyle{ x^3-9x^2-2x=0 \ \ \ \vee\ \ \ x^3+9x^2-2x=0\\ x\left( x^2-9x-2\right)= 0 \ \ \ \vee\ \ \ x\left( x^2+9x-2\right)=0}\)
Teraz trzeba będzie dwa razy deltę policzyć, i wyjdzie pięć (podejrzanych) liczb, które trzeba będzie sprawdzić czy czasem nie są ujemne - dwie ujemne odrzucić.
Ostatecznie, dziedzina wyjdzie taka:
\(\displaystyle{ D=\left\{ x:x\in R\setminus\left\{0,\frac{-9+\sqrt{89}}{2} \right\ ,\frac{9+\sqrt{89}}{2} \right\} \right\}}\)
pod pierwiastkiem jest wartość bezwzględna (zawsze nieujemna) więc nie trzeba \(\displaystyle{ x^3-2x\ge0}\)
Wystarczy tylko rozwiązać nierówność \(\displaystyle{ \sqrt{\left| x^3-2x\right| }-3x\ne0}\)
Nierówność ze znakiem \(\displaystyle{ \ne}\) polega na wykluczeniu ze zbioru \(\displaystyle{ R}\) pojedynczych liczb.
Rozwiązując równanie \(\displaystyle{ \sqrt{\left| x^3-2x\right| }-3x=0}\) znajdujemy wszystkie liczby \(\displaystyle{ x}\), które trzeba wykluczyć z dziedziny funkcji
\(\displaystyle{ \sqrt{\left| x^3-2x\right| }=3x \ \ \ \ \ \ | ()^2}\)
W powyższym równaniu mamy po lewej pierwiastek (więc lewa strona jest na pewno nieujemna), no to żeby była równość, to i prawa strona musi być nieujemna, zatem robimy zastrzeżenie \(\displaystyle{ 3x\ge0}\) czyli \(\displaystyle{ x\ge0}\).
Od tej pory, wszystkie ujemne iksy, które będą "rozwiązaniami" równania, musimy odrzucić.
\(\displaystyle{ \left| x^3-2x\right| = 9x^2\\ x^3-2x =9x^2\ \ \ \vee\ \ \ x^3-2x = -9x^2}\)
W powyższym, korzystam z własności \(\displaystyle{ |a|=b\ \to \ a=b\ \vee\ a=-b}\)
\(\displaystyle{ x^3-9x^2-2x=0 \ \ \ \vee\ \ \ x^3+9x^2-2x=0\\ x\left( x^2-9x-2\right)= 0 \ \ \ \vee\ \ \ x\left( x^2+9x-2\right)=0}\)
Teraz trzeba będzie dwa razy deltę policzyć, i wyjdzie pięć (podejrzanych) liczb, które trzeba będzie sprawdzić czy czasem nie są ujemne - dwie ujemne odrzucić.
Ostatecznie, dziedzina wyjdzie taka:
\(\displaystyle{ D=\left\{ x:x\in R\setminus\left\{0,\frac{-9+\sqrt{89}}{2} \right\ ,\frac{9+\sqrt{89}}{2} \right\} \right\}}\)