Pare zadań z wielomianów
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 6 sty 2016, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 4 razy
Pare zadań z wielomianów
Witam, mam problem z paroma zadaniami z wielomianów.
1. Dla jakich wartości parametru k równanie \(\displaystyle{ (x + 1)[kx^{2} + (k – 1)x – 1] = 0}\) ma jedno rozwiązanie?
2. Suma wszystkich współczynników wielomianu W(x) stopnia wyższego niż 2 wynosi 4, zaś suma
współczynników przy nieparzystych potęgach zmiennej równa się sumie współczynników przy jej
parzystych potęgach. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)=3x^2 - 3}\)
3. Wielomian \(\displaystyle{ W(x)=2x^4 +4x^3+ ax^2 +bx +2}\) ma cztery różne pierwiastki. Oblicz ich sumę.
4. Dla jakich wartości parametrów a i b wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^4-4x^3+ax+b}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ P(x)=x^2-x-2}\) ?
5. Rozwiąż:
\(\displaystyle{ −6x^4 - 10x^3 + 16 \le 0}\)
\(\displaystyle{ 4x^3 - 13x^2 =\left| 13x-4 \right|}\)
Z góry dzięki za pomoc !
1. Dla jakich wartości parametru k równanie \(\displaystyle{ (x + 1)[kx^{2} + (k – 1)x – 1] = 0}\) ma jedno rozwiązanie?
2. Suma wszystkich współczynników wielomianu W(x) stopnia wyższego niż 2 wynosi 4, zaś suma
współczynników przy nieparzystych potęgach zmiennej równa się sumie współczynników przy jej
parzystych potęgach. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)=3x^2 - 3}\)
3. Wielomian \(\displaystyle{ W(x)=2x^4 +4x^3+ ax^2 +bx +2}\) ma cztery różne pierwiastki. Oblicz ich sumę.
4. Dla jakich wartości parametrów a i b wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^4-4x^3+ax+b}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ P(x)=x^2-x-2}\) ?
5. Rozwiąż:
\(\displaystyle{ −6x^4 - 10x^3 + 16 \le 0}\)
\(\displaystyle{ 4x^3 - 13x^2 =\left| 13x-4 \right|}\)
Z góry dzięki za pomoc !
Ostatnio zmieniony 6 sty 2016, o 19:13 przez skillzgg, łącznie zmieniany 1 raz.
- Peter Zof
- Użytkownik
- Posty: 585
- Rejestracja: 30 cze 2012, o 16:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa (MIMUW) / Pułtusk
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 66 razy
Pare zadań z wielomianów
(a)
\(\displaystyle{ (x + 1)[kx^{2} + (k – 1)x – 1] = 0}\) ma rozwiązanie \(\displaystyle{ x=-1}\), tak więc musisz zadbać, aby trójmian kwadratowy w nawiasie obok nie miał pierwiastków, czyli aby jego wyróżnik (popularnie wśród młodzieży znany jako "delta") był mniejszy od zera. Może zdarzyć się również tak, że pierwiastkiem drugiego wielomianu może być również \(\displaystyle{ x=-1}\) wówczas rozwiązujesz równanie \(\displaystyle{ \Delta=0}\) (ponieważ przy założeniach z zadania może to być jego jedyny pierwiastek) oraz \(\displaystyle{ \frac{-b}{2a}=-1}\), gdzie \(\displaystyle{ a=k, b=k-1}\) (standardowe oznaczenia).
\(\displaystyle{ (x + 1)[kx^{2} + (k – 1)x – 1] = 0}\) ma rozwiązanie \(\displaystyle{ x=-1}\), tak więc musisz zadbać, aby trójmian kwadratowy w nawiasie obok nie miał pierwiastków, czyli aby jego wyróżnik (popularnie wśród młodzieży znany jako "delta") był mniejszy od zera. Może zdarzyć się również tak, że pierwiastkiem drugiego wielomianu może być również \(\displaystyle{ x=-1}\) wówczas rozwiązujesz równanie \(\displaystyle{ \Delta=0}\) (ponieważ przy założeniach z zadania może to być jego jedyny pierwiastek) oraz \(\displaystyle{ \frac{-b}{2a}=-1}\), gdzie \(\displaystyle{ a=k, b=k-1}\) (standardowe oznaczenia).
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Pare zadań z wielomianów
3. Spróbuj może wzorów Viete'a dla wielomianów czwartego stopnia. Looknij np. tu:
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Wzory_Vi%C3%A8te%E2%80%99a
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 6 sty 2016, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 4 razy
Pare zadań z wielomianów
Problem w tym, że delta wychodzi mi \(\displaystyle{ (k+1)^2}\), więc nie może być mniejsza od 0. W takim wypadku należy rozpatrzyć tylko drugi warunek? Jeśli tak, to delta = 0 dla k = -1, a \(\displaystyle{ x _{0} = -1 \Leftrightarrow k=-1}\) . Czyli k = -1 to odpowiedź?
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Pare zadań z wielomianów
4. Podziel wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\). Jeśli znasz zasady dzielenia wielomianów, to zobaczysz, że \(\displaystyle{ a=-8 \wedge b=-8}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 6 sty 2016, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 4 razy
Pare zadań z wielomianów
Chodzi Ci o takie zwykłe dzielenie wielomianów "pod kreską?". Jeśli tak to coś mi nie wychodzi.. tzn. nie wiem co robić dalej po dojściu do parametru.Dilectus pisze:4. Podziel wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\). Jeśli znasz zasady dzielenia wielomianów, to zobaczysz, że \(\displaystyle{ a=-8 \wedge b=-8}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Pare zadań z wielomianów
5.
\(\displaystyle{ 6x^4 - 10x^3 + 16 \le 0}\)
Podziel tę nierówność stronami przez 2.
\(\displaystyle{ 3x^4 - 5x^3 + 8 \le 0}\)
Sprawdź, które z dzielników wyrazu wolnego są pierwiastkami tego wielomianu i rozłóż go na czynniki, a potem narysuj wężyk rozwiązujący tę nierówność.-- 6 sty 2016, o 19:59 --
Zapisz wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) tak:
\(\displaystyle{ W(x)=x^4-4x^3+ 0k^2+ax+b}\)
i teraz podziel go "pod kreską".
\(\displaystyle{ 6x^4 - 10x^3 + 16 \le 0}\)
Podziel tę nierówność stronami przez 2.
\(\displaystyle{ 3x^4 - 5x^3 + 8 \le 0}\)
Sprawdź, które z dzielników wyrazu wolnego są pierwiastkami tego wielomianu i rozłóż go na czynniki, a potem narysuj wężyk rozwiązujący tę nierówność.-- 6 sty 2016, o 19:59 --
Tak, właśnie o to mi chodzi. Pewnie w dzieleniu "pod kreską" nie wypisujesz brakujących potęg wielomianu ze współczynnikiem \(\displaystyle{ 0}\)Chodzi Ci o takie zwykłe dzielenie wielomianów "pod kreską?". Jeśli tak to coś mi nie wychodzi.. tzn. nie wiem co robić dalej po dojściu do parametru.
Zapisz wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) tak:
\(\displaystyle{ W(x)=x^4-4x^3+ 0k^2+ax+b}\)
i teraz podziel go "pod kreską".
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 6 sty 2016, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 4 razy
Pare zadań z wielomianów
Teraz zauważyłem, że zrobiłem błąd przy przepisywaniu.. tam jest \(\displaystyle{ -6x^4}\) i przy takim zapisie powie mi ktoś czy wynik to \(\displaystyle{ (- \infty, -2 > \vee <1, + \infty )}\) ?Dilectus pisze:5.
\(\displaystyle{ 6x^4 - 10x^3 + 16 \le 0}\)
Podziel tę nierówność stronami przez 2.
\(\displaystyle{ 3x^4 - 5x^3 + 8 \le 0}\)
Sprawdź, które z dzielników wyrazu wolnego są pierwiastkami tego wielomianu i rozłóż go na czynniki, a potem narysuj wężyk rozwiązujący tę nierówność.
-
- Użytkownik
- Posty: 821
- Rejestracja: 22 lut 2013, o 19:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 84 razy
- Pomógł: 45 razy
Pare zadań z wielomianów
Tylko jak ten trojmian w nawiasie bedzie mial pierwiastek równy \(\displaystyle{ -1}\) to cale rownanie bedzie mialo dwa pierwiastki, gdzie \(\displaystyle{ -1}\) jest pierwiastkiem podwojnym. A to chyba wykluczamy?Peter Zof pisze:(a)
\(\displaystyle{ (x + 1)[kx^{2} + (k – 1)x – 1] = 0}\) ma rozwiązanie \(\displaystyle{ x=-1}\), tak więc musisz zadbać, aby trójmian kwadratowy w nawiasie obok nie miał pierwiastków, czyli aby jego wyróżnik (popularnie wśród młodzieży znany jako "delta") był mniejszy od zera. Może zdarzyć się również tak, że pierwiastkiem drugiego wielomianu może być również \(\displaystyle{ x=-1}\) wówczas rozwiązujesz równanie \(\displaystyle{ \Delta=0}\) (ponieważ przy założeniach z zadania może to być jego jedyny pierwiastek) oraz \(\displaystyle{ \frac{-b}{2a}=-1}\), gdzie \(\displaystyle{ a=k, b=k-1}\) (standardowe oznaczenia).
-
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Pare zadań z wielomianów
2) \(\displaystyle{ W(1)=4}\) oraz \(\displaystyle{ W(-1)=0}\)
\(\displaystyle{ W(x)=Q(x)\cdot (3x^2-3)+ax+b}\) gdzie dwa ostatnie składniki to szukana reszta.
3) Nie było słowa ,,wymierne" ?
\(\displaystyle{ W(x)=Q(x)\cdot (3x^2-3)+ax+b}\) gdzie dwa ostatnie składniki to szukana reszta.
3) Nie było słowa ,,wymierne" ?
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 6 sty 2016, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 4 razy
Pare zadań z wielomianów
Nic oprócz tego, co napisałem.piasek101 pisze:2) \(\displaystyle{ W(1)=4}\) oraz \(\displaystyle{ W(-1)=0}\)
\(\displaystyle{ W(x)=Q(x)\cdot (3x^2-3)+ax+b}\) gdzie dwa ostatnie składniki to szukana reszta.
3) Nie było słowa ,,wymierne" ?
-
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Pare zadań z wielomianów
3) Założyłem jakie są pierwiastki (sprawdziłem dwie wersje - skoro suma ma być stała) = otrzymałem \(\displaystyle{ (-2)}\).
[edit] Albo na palcach (to wzory Viete'a - jak już wspomniano)
\(\displaystyle{ W(x)=2(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)}\) i przyrównać z danym.
[edit1] Albo :
jedną z wersji W(x) jest
\(\displaystyle{ W(x)=2(x^2+cx+1)(x^2+dx+1)}\)
skoro ma 4 pierwiastki to suma dwóch pierwszych to \(\displaystyle{ (-c)}\) (z Viete'a), dwóch następnych to \(\displaystyle{ (-d)}\); a z porównania postaci W(x) mamy \(\displaystyle{ c+d=2}\)
[edit] Albo na palcach (to wzory Viete'a - jak już wspomniano)
\(\displaystyle{ W(x)=2(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)}\) i przyrównać z danym.
[edit1] Albo :
jedną z wersji W(x) jest
\(\displaystyle{ W(x)=2(x^2+cx+1)(x^2+dx+1)}\)
skoro ma 4 pierwiastki to suma dwóch pierwszych to \(\displaystyle{ (-c)}\) (z Viete'a), dwóch następnych to \(\displaystyle{ (-d)}\); a z porównania postaci W(x) mamy \(\displaystyle{ c+d=2}\)
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Pare zadań z wielomianów
Ta tylko że wyrazy wolne tych trójmianów nie muszą być jedynkami
\(\displaystyle{ -6x^4 - 10x^3 + 16 \le 0\\
-6x^4 - 10x^3 + 16=0\\
36x^4+60x^3-96=0\\
36x^4+60x^3+25x^2-25x^2-96=0\\
\left( 6x^2+5x\right)^2-\left( 25x^2+96\right)=0\\
\left( 6x^2+5x+\frac{y}{2}\right)^2-\left( \left( 6y+25\right)x^2+5yx+\frac{y^2}{4}+96 \right)=0\\
\left( y^2+384\right)\left( 6y+25\right)-25y^2=0\\
6y^3+25y^2+2304y+9600-25y^2=0\\
6y^3+2304y+9600=0\\
y^3+384y+1600=0\\
y=-4\\
-64-1536+1600=0\\
0=0\\
\left( 6x^2+5x-2\right)^2-\left( x^2-20x+100\right)=0\\
\left( 6x^2+5x-2\right)^2-\left( x-10\right)^2=0\\
\left( 6x^2+4x+8\right)\left( 6x^2+6x-12\right)=0\\
\left( x^2+x-2\right)\left( 6x^2+4x+8\right)=0\\
\left( x+2\right)\left( x-1\right)\left( 6x^2+4x+8\right)=0\\}\)
\(\displaystyle{ -6x^4 - 10x^3 + 16 \le 0\\
-6x^4 - 10x^3 + 16=0\\
36x^4+60x^3-96=0\\
36x^4+60x^3+25x^2-25x^2-96=0\\
\left( 6x^2+5x\right)^2-\left( 25x^2+96\right)=0\\
\left( 6x^2+5x+\frac{y}{2}\right)^2-\left( \left( 6y+25\right)x^2+5yx+\frac{y^2}{4}+96 \right)=0\\
\left( y^2+384\right)\left( 6y+25\right)-25y^2=0\\
6y^3+25y^2+2304y+9600-25y^2=0\\
6y^3+2304y+9600=0\\
y^3+384y+1600=0\\
y=-4\\
-64-1536+1600=0\\
0=0\\
\left( 6x^2+5x-2\right)^2-\left( x^2-20x+100\right)=0\\
\left( 6x^2+5x-2\right)^2-\left( x-10\right)^2=0\\
\left( 6x^2+4x+8\right)\left( 6x^2+6x-12\right)=0\\
\left( x^2+x-2\right)\left( 6x^2+4x+8\right)=0\\
\left( x+2\right)\left( x-1\right)\left( 6x^2+4x+8\right)=0\\}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Pare zadań z wielomianów
W zasadzie na to czekałem.mariuszm pisze:Ta tylko że wyrazy wolne tych trójmianów nie muszą być jedynkami
Kto napisał, że muszą ?
- Ponewor
- Moderator
- Posty: 2218
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
Pare zadań z wielomianów
Zdaje się, że w a) wszyscy konsekwentnie pominęli osobny przypadek, gdy w tym drugim nawiasie nie mamy trójmianu kwadratowego.-- 10 sty 2016, o 06:36 --
Można to wymusić przecież.mariuszm pisze:Ta tylko że wyrazy wolne tych trójmianów nie muszą być jedynkami