Pare zadań z wielomianów

[skillzgg]

Witam, mam problem z paroma zadaniami z wielomianów.

1. Dla jakich wartości parametru k równanie \(\displaystyle{ (x + 1)[kx^{2} + (k – 1)x – 1] = 0}\) ma jedno rozwiązanie?

2. Suma wszystkich współczynników wielomianu W(x) stopnia wyższego niż 2 wynosi 4, zaś suma
współczynników przy nieparzystych potęgach zmiennej równa się sumie współczynników przy jej
parzystych potęgach. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)=3x^2 - 3}\)

3. Wielomian \(\displaystyle{ W(x)=2x^4 +4x^3+ ax^2 +bx +2}\) ma cztery różne pierwiastki. Oblicz ich sumę.

4. Dla jakich wartości parametrów a i b wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^4-4x^3+ax+b}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ P(x)=x^2-x-2}\) ?


5. Rozwiąż:
\(\displaystyle{ −6x^4 - 10x^3 + 16 \le 0}\)
\(\displaystyle{ 4x^3 - 13x^2 =\left| 13x-4 \right|}\)

Z góry dzięki za pomoc !

[Peter Zof]

(a)
\(\displaystyle{ (x + 1)[kx^{2} + (k – 1)x – 1] = 0}\) ma rozwiązanie \(\displaystyle{ x=-1}\), tak więc musisz zadbać, aby trójmian kwadratowy w nawiasie obok nie miał pierwiastków, czyli aby jego wyróżnik (popularnie wśród młodzieży znany jako "delta") był mniejszy od zera. Może zdarzyć się również tak, że pierwiastkiem drugiego wielomianu może być również \(\displaystyle{ x=-1}\) wówczas rozwiązujesz równanie \(\displaystyle{ \Delta=0}\) (ponieważ przy założeniach z zadania może to być jego jedyny pierwiastek) oraz \(\displaystyle{ \frac{-b}{2a}=-1}\), gdzie \(\displaystyle{ a=k, b=k-1}\) (standardowe oznaczenia).

[Dilectus]

3. Spróbuj może wzorów Viete'a dla wielomianów czwartego stopnia. Looknij np. tu:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Wzory_Vi%C3%A8te%E2%80%99a

[skillzgg]

Problem w tym, że delta wychodzi mi \(\displaystyle{ (k+1)^2}\), więc nie może być mniejsza od 0. W takim wypadku należy rozpatrzyć tylko drugi warunek? Jeśli tak, to delta = 0 dla k = -1, a \(\displaystyle{ x _{0} = -1 \Leftrightarrow k=-1}\) . Czyli k = -1 to odpowiedź?

[Dilectus]

4. Podziel wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\). Jeśli znasz zasady dzielenia wielomianów, to zobaczysz, że \(\displaystyle{ a=-8 \wedge b=-8}\).

[skillzgg]

4. Podziel wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\). Jeśli znasz zasady dzielenia wielomianów, to zobaczysz, że \(\displaystyle{ a=-8 \wedge b=-8}\).

Chodzi Ci o takie zwykłe dzielenie wielomianów "pod kreską?". Jeśli tak to coś mi nie wychodzi.. tzn. nie wiem co robić dalej po dojściu do parametru.

[Dilectus]

5.

\(\displaystyle{ 6x^4 - 10x^3 + 16 \le 0}\)

Podziel tę nierówność stronami przez 2.

\(\displaystyle{ 3x^4 - 5x^3 + 8 \le 0}\)

Sprawdź, które z dzielników wyrazu wolnego są pierwiastkami tego wielomianu i rozłóż go na czynniki, a potem narysuj wężyk rozwiązujący tę nierówność.-- 6 sty 2016, o 19:59 --

Chodzi Ci o takie zwykłe dzielenie wielomianów "pod kreską?". Jeśli tak to coś mi nie wychodzi.. tzn. nie wiem co robić dalej po dojściu do parametru.

Tak, właśnie o to mi chodzi. Pewnie w dzieleniu "pod kreską" nie wypisujesz brakujących potęg wielomianu ze współczynnikiem \(\displaystyle{ 0}\)

Zapisz wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) tak:

\(\displaystyle{ W(x)=x^4-4x^3+ 0k^2+ax+b}\)

i teraz podziel go "pod kreską".

[skillzgg]

5.

\(\displaystyle{ 6x^4 - 10x^3 + 16 \le 0}\)

Podziel tę nierówność stronami przez 2.

\(\displaystyle{ 3x^4 - 5x^3 + 8 \le 0}\)

Sprawdź, które z dzielników wyrazu wolnego są pierwiastkami tego wielomianu i rozłóż go na czynniki, a potem narysuj wężyk rozwiązujący tę nierówność.

Teraz zauważyłem, że zrobiłem błąd przy przepisywaniu.. tam jest \(\displaystyle{ -6x^4}\) i przy takim zapisie powie mi ktoś czy wynik to \(\displaystyle{ (- \infty, -2 > \vee <1, + \infty )}\) ?

[Milczek]

(a)
\(\displaystyle{ (x + 1)[kx^{2} + (k – 1)x – 1] = 0}\) ma rozwiązanie \(\displaystyle{ x=-1}\), tak więc musisz zadbać, aby trójmian kwadratowy w nawiasie obok nie miał pierwiastków, czyli aby jego wyróżnik (popularnie wśród młodzieży znany jako "delta") był mniejszy od zera. Może zdarzyć się również tak, że pierwiastkiem drugiego wielomianu może być również \(\displaystyle{ x=-1}\) wówczas rozwiązujesz równanie \(\displaystyle{ \Delta=0}\) (ponieważ przy założeniach z zadania może to być jego jedyny pierwiastek) oraz \(\displaystyle{ \frac{-b}{2a}=-1}\), gdzie \(\displaystyle{ a=k, b=k-1}\) (standardowe oznaczenia).

Tylko jak ten trojmian w nawiasie bedzie mial pierwiastek równy \(\displaystyle{ -1}\) to cale rownanie bedzie mialo dwa pierwiastki, gdzie \(\displaystyle{ -1}\) jest pierwiastkiem podwojnym. A to chyba wykluczamy?

[piasek101]

2) \(\displaystyle{ W(1)=4}\) oraz \(\displaystyle{ W(-1)=0}\)

\(\displaystyle{ W(x)=Q(x)\cdot (3x^2-3)+ax+b}\) gdzie dwa ostatnie składniki to szukana reszta.

3) Nie było słowa ,,wymierne" ?

[skillzgg]

2) \(\displaystyle{ W(1)=4}\) oraz \(\displaystyle{ W(-1)=0}\)

\(\displaystyle{ W(x)=Q(x)\cdot (3x^2-3)+ax+b}\) gdzie dwa ostatnie składniki to szukana reszta.

3) Nie było słowa ,,wymierne" ?

Nic oprócz tego, co napisałem.

[piasek101]

3) Założyłem jakie są pierwiastki (sprawdziłem dwie wersje - skoro suma ma być stała) = otrzymałem \(\displaystyle{ (-2)}\).

[edit] Albo na palcach (to wzory Viete'a - jak już wspomniano)

\(\displaystyle{ W(x)=2(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)}\) i przyrównać z danym.

[edit1] Albo :
jedną z wersji W(x) jest

\(\displaystyle{ W(x)=2(x^2+cx+1)(x^2+dx+1)}\)

skoro ma 4 pierwiastki to suma dwóch pierwszych to \(\displaystyle{ (-c)}\) (z Viete'a), dwóch następnych to \(\displaystyle{ (-d)}\); a z porównania postaci W(x) mamy \(\displaystyle{ c+d=2}\)

[Mariusz M]

Ta tylko że wyrazy wolne tych trójmianów nie muszą być jedynkami

\(\displaystyle{ -6x^4 - 10x^3 + 16 \le 0\\
-6x^4 - 10x^3 + 16=0\\
36x^4+60x^3-96=0\\
36x^4+60x^3+25x^2-25x^2-96=0\\
\left( 6x^2+5x\right)^2-\left( 25x^2+96\right)=0\\
\left( 6x^2+5x+\frac{y}{2}\right)^2-\left( \left( 6y+25\right)x^2+5yx+\frac{y^2}{4}+96 \right)=0\\
\left( y^2+384\right)\left( 6y+25\right)-25y^2=0\\
6y^3+25y^2+2304y+9600-25y^2=0\\
6y^3+2304y+9600=0\\
y^3+384y+1600=0\\
y=-4\\
-64-1536+1600=0\\
0=0\\
\left( 6x^2+5x-2\right)^2-\left( x^2-20x+100\right)=0\\
\left( 6x^2+5x-2\right)^2-\left( x-10\right)^2=0\\
\left( 6x^2+4x+8\right)\left( 6x^2+6x-12\right)=0\\
\left( x^2+x-2\right)\left( 6x^2+4x+8\right)=0\\
\left( x+2\right)\left( x-1\right)\left( 6x^2+4x+8\right)=0\\}\)

[piasek101]

Ta tylko że wyrazy wolne tych trójmianów nie muszą być jedynkami

W zasadzie na to czekałem.

Kto napisał, że muszą ?

[Ponewor]

Zdaje się, że w a) wszyscy konsekwentnie pominęli osobny przypadek, gdy w tym drugim nawiasie nie mamy trójmianu kwadratowego.-- 10 sty 2016, o 06:36 --

Ta tylko że wyrazy wolne tych trójmianów nie muszą być jedynkami

Można to wymusić przecież.