Jaki pierwiastek ma wielomian w(x).

[Qyeal]

Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x ^{3} +ax ^{2} +bx-3}\) gdzie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są liczbami całkowitymi. Wobec tego:
A. Wielomian ma co najmniej jeden pierwiastek ujemny.
B. Wielomian ma co najmniej jeden pierwiastek całkowity.
C. Wielomian ma co najmniej jeden pierwiastek wymierny.
D. Jeżeli wielomian ma pierwiastek wymierny to jest to liczba całkowita.
Bardzo proszę o pomoc, jaka odpowiedz i dlaczego?

[Mariusz M]

Test wielokrotnego wyboru ?
Odpowiedź D jest prawdziwa

Ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty
więc prawdziwość pozostałych jest wątpliwa

[Qyeal]

Dlaczego? Skąd to wiemy?

[Zahion]

Wielomiany stopnia nieparzystego mają co najmniej jeden pierwiastek. ( Oczywiście mam na myśli stopień najwyższej potęgi ).

[ldurniat]

Zakładam, że mogę dowolnie obrać wartości parametrów \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\).

Rozważmy przypadek, gdy \(\displaystyle{ a=b=0.}\)Wtedy \(\displaystyle{ W(x)=x^3-3.}\) Jedynym rzeczywistym pierwiastkiem tego wielomianu jest \(\displaystyle{ x=\sqrt[3]{3},}\)czyli odpowiedzi A), B) oraz C) są nieprawdziwe. Ostatnia odpowiedź jest prawdziwa. Wynika ona z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych:) Mam nadzieję, że pomogłem.

[Milczek]

Tak się zastanawiam , jeśli współczynnik przy najwyższej potędze wynosi \(\displaystyle{ 1}\) to wszystkie możliwe pierwiastki wymierne(a w tym wypadku całkowite) znajdują się w zbiorze liczb \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) gdzie \(\displaystyle{ p \in \left\{ 3,-3,1,-1\right\}}\) i \(\displaystyle{ q \in \left\{ -1,1\right\}}\). Czyli jak żaden z nich nie jest pierwiastkiem to wielomian ma co najwyżej pierwiastki niewymierne? Pytam ogólnie , niezależnie od tego zadania.



A co do zadania , dla \(\displaystyle{ a=-5}\) i \(\displaystyle{ b=7}\) jeden pierwiastek wynosi \(\displaystyle{ 3}\)

[piasek101]

Co do pytania - tak. Tu co najmniej jeden, co najwyżej trzy.