Jak wykazać, że poniższy wielomian jest zawsze dodatni (bo taki jest)?
\(\displaystyle{ y^{4} + 2y^{3} + y^{2} - 4y + 4 > 0}\)
Odpada metoda p/q, bo wielomian nie ma miejsc zerowych (jest zawsze ponad osią OX). Proszę o pomoc, ponieważ brakuje mi pomysłu
Wykazać, że wielomian 4 stopnia jest dodatni
-
- Użytkownik
- Posty: 80
- Rejestracja: 24 lis 2015, o 23:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 34 razy
- Chewbacca97
- Użytkownik
- Posty: 464
- Rejestracja: 9 lis 2013, o 22:09
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 33 razy
- Pomógł: 120 razy
Wykazać, że wielomian 4 stopnia jest dodatni
Możesz jeszcze zapisać to w postaci: \(\displaystyle{ \left( y^2 + y -1\right)^2 + \left( y-1\right)^2 + y^2 + 2 >0}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 821
- Rejestracja: 22 lut 2013, o 19:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 84 razy
- Pomógł: 45 razy
Wykazać, że wielomian 4 stopnia jest dodatni
Częściowo z am-gm \(\displaystyle{ y^{4} + 2y^{3} + y^{2} - 4y + 4 \ge 2y^3 -4y + 3 \sqrt[3]{4y^6 }}\) i dalej z górki. Wystarczy wykazać ostatnią nierówność ze jest wieksza niż \(\displaystyle{ 0}\) dla kazdego \(\displaystyle{ y}\). Niestety nie jestem na kompie wiec nie mam jak wstawic reszty. Później na pewno wstawię.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Wykazać, że wielomian 4 stopnia jest dodatni
Może zanim napiszesz, to przelicz... Dla bliskich zera ujemnych \(\displaystyle{ y}\) prawa stronę jest ujemna.Milczek pisze:Częściowo z am-gm \(\displaystyle{ y^{4} + 2y^{3} + y^{2} - 4y + 4 \ge 2y^3 -4y + 3 \sqrt[3]{4y^6 }}\) i dalej z górki. Wystarczy wykazać ostatnią nierówność ze jest wieksza niż \(\displaystyle{ 0}\) dla kazdego \(\displaystyle{ y}\). Niestety nie jestem na kompie wiec nie mam jak wstawic reszty. Później na pewno wstawię.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Wykazać, że wielomian 4 stopnia jest dodatni
\(\displaystyle{ y^{4} + 2y^{3} + y^{2} - 4y + 4 > 0\\
y^{4} + 2y^{3} + y^{2} - 4y + 4=0\\
\left( y^2+y\right)^2-4y+4=0\\
\left( y^2+y\right)^2-\left( 4y-4\right)=0\\
\left( y^2+y+\frac{u}{2}\right)^2-\left( uy^2+\left( u+4\right)y+\frac{u^2}{4}-4 \right)=0\\
\left( u^2-16\right)u-\left( u+4\right)^2=0\\
\left( u+4\right)\left( u^2-5u-4\right)=0\\
\left( u+4\right)\left(u- \frac{5- \sqrt{41} }{2} \right)\left( u- \frac{5+ \sqrt{41} }{2} \right) \\
\left( y^2+y+\frac{5+ \sqrt{41} }{4}\right)^2-\left( \frac{5+ \sqrt{41} }{2}y^2+\left( \frac{13+ \sqrt{41} }{2} \right)y+ \frac{1+5 \sqrt{41} }{8} \right)=0\\
\left( y^2+y+\frac{5+ \sqrt{41} }{4}\right)^2- \left(\frac{ \sqrt{10+2 \sqrt{41} } }{2}\right)^2\left( y-\frac{3- \sqrt{41} }{4}\right)^2=0\\
\left( y^2+\left( 1+ \frac{ \sqrt{10+2 \sqrt{41} } }{2} \right)y+\frac{5+ \sqrt{41} }{4}- \frac{ \sqrt{10+2 \sqrt{41} } }{2} \cdot \frac{3- \sqrt{41} }{4} \right)\\\left(y^2+\left( 1-\frac{ \sqrt{10+2 \sqrt{41} } }{2}\right)y+ \frac{5+ \sqrt{41} }{4}+\frac{ \sqrt{10+2 \sqrt{41} } }{2} \cdot \frac{3- \sqrt{41} }{4} \right)=0}\)
Teraz wystarczy policzyć wyróżniki tych trójmianów kwadratowych
y^{4} + 2y^{3} + y^{2} - 4y + 4=0\\
\left( y^2+y\right)^2-4y+4=0\\
\left( y^2+y\right)^2-\left( 4y-4\right)=0\\
\left( y^2+y+\frac{u}{2}\right)^2-\left( uy^2+\left( u+4\right)y+\frac{u^2}{4}-4 \right)=0\\
\left( u^2-16\right)u-\left( u+4\right)^2=0\\
\left( u+4\right)\left( u^2-5u-4\right)=0\\
\left( u+4\right)\left(u- \frac{5- \sqrt{41} }{2} \right)\left( u- \frac{5+ \sqrt{41} }{2} \right) \\
\left( y^2+y+\frac{5+ \sqrt{41} }{4}\right)^2-\left( \frac{5+ \sqrt{41} }{2}y^2+\left( \frac{13+ \sqrt{41} }{2} \right)y+ \frac{1+5 \sqrt{41} }{8} \right)=0\\
\left( y^2+y+\frac{5+ \sqrt{41} }{4}\right)^2- \left(\frac{ \sqrt{10+2 \sqrt{41} } }{2}\right)^2\left( y-\frac{3- \sqrt{41} }{4}\right)^2=0\\
\left( y^2+\left( 1+ \frac{ \sqrt{10+2 \sqrt{41} } }{2} \right)y+\frac{5+ \sqrt{41} }{4}- \frac{ \sqrt{10+2 \sqrt{41} } }{2} \cdot \frac{3- \sqrt{41} }{4} \right)\\\left(y^2+\left( 1-\frac{ \sqrt{10+2 \sqrt{41} } }{2}\right)y+ \frac{5+ \sqrt{41} }{4}+\frac{ \sqrt{10+2 \sqrt{41} } }{2} \cdot \frac{3- \sqrt{41} }{4} \right)=0}\)
Teraz wystarczy policzyć wyróżniki tych trójmianów kwadratowych
-
- Użytkownik
- Posty: 1666
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
Wykazać, że wielomian 4 stopnia jest dodatni
AM-GM jest imho w tym przypadku mniej naturalne od zwinięcia, ale można i tak.
Dla nieujemnych: \(\displaystyle{ \left(y^4+1+1+1\right)+2y^3+y^2+1>4y}\)
Dla ujemnych niech \(\displaystyle{ -y=t>0}\), wtedy: \(\displaystyle{ \left(t^4+t^2\right)+4t+4>2t^3}\)
Dla nieujemnych: \(\displaystyle{ \left(y^4+1+1+1\right)+2y^3+y^2+1>4y}\)
Dla ujemnych niech \(\displaystyle{ -y=t>0}\), wtedy: \(\displaystyle{ \left(t^4+t^2\right)+4t+4>2t^3}\)