Wykazać, że wielomian 4 stopnia jest dodatni

[Bursztyncio]

Jak wykazać, że poniższy wielomian jest zawsze dodatni (bo taki jest)?
\(\displaystyle{ y^{4} + 2y^{3} + y^{2} - 4y + 4 > 0}\)

Odpada metoda p/q, bo wielomian nie ma miejsc zerowych (jest zawsze ponad osią OX). Proszę o pomoc, ponieważ brakuje mi pomysłu

[Ania221]

Znaleźć ekstrema i wykazać, że minima są dodatnie ?

[Chewbacca97]

Możesz jeszcze zapisać to w postaci: \(\displaystyle{ \left( y^2 + y -1\right)^2 + \left( y-1\right)^2 + y^2 + 2 >0}\).

[Milczek]

Częściowo z am-gm \(\displaystyle{ y^{4} + 2y^{3} + y^{2} - 4y + 4 \ge 2y^3 -4y + 3 \sqrt[3]{4y^6 }}\) i dalej z górki. Wystarczy wykazać ostatnią nierówność ze jest wieksza niż \(\displaystyle{ 0}\) dla kazdego \(\displaystyle{ y}\). Niestety nie jestem na kompie wiec nie mam jak wstawic reszty. Później na pewno wstawię.

[a4karo]

Częściowo z am-gm \(\displaystyle{ y^{4} + 2y^{3} + y^{2} - 4y + 4 \ge 2y^3 -4y + 3 \sqrt[3]{4y^6 }}\) i dalej z górki. Wystarczy wykazać ostatnią nierówność ze jest wieksza niż \(\displaystyle{ 0}\) dla kazdego \(\displaystyle{ y}\). Niestety nie jestem na kompie wiec nie mam jak wstawic reszty. Później na pewno wstawię.

Może zanim napiszesz, to przelicz... Dla bliskich zera ujemnych \(\displaystyle{ y}\) prawa stronę jest ujemna.

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ y^{4} + 2y^{3} + y^{2} - 4y + 4 > 0\\
y^{4} + 2y^{3} + y^{2} - 4y + 4=0\\
\left( y^2+y\right)^2-4y+4=0\\
\left( y^2+y\right)^2-\left( 4y-4\right)=0\\
\left( y^2+y+\frac{u}{2}\right)^2-\left( uy^2+\left( u+4\right)y+\frac{u^2}{4}-4 \right)=0\\
\left( u^2-16\right)u-\left( u+4\right)^2=0\\
\left( u+4\right)\left( u^2-5u-4\right)=0\\
\left( u+4\right)\left(u- \frac{5- \sqrt{41} }{2} \right)\left( u- \frac{5+ \sqrt{41} }{2} \right) \\
\left( y^2+y+\frac{5+ \sqrt{41} }{4}\right)^2-\left( \frac{5+ \sqrt{41} }{2}y^2+\left( \frac{13+ \sqrt{41} }{2} \right)y+ \frac{1+5 \sqrt{41} }{8} \right)=0\\
\left( y^2+y+\frac{5+ \sqrt{41} }{4}\right)^2- \left(\frac{ \sqrt{10+2 \sqrt{41} } }{2}\right)^2\left( y-\frac{3- \sqrt{41} }{4}\right)^2=0\\
\left( y^2+\left( 1+ \frac{ \sqrt{10+2 \sqrt{41} } }{2} \right)y+\frac{5+ \sqrt{41} }{4}- \frac{ \sqrt{10+2 \sqrt{41} } }{2} \cdot \frac{3- \sqrt{41} }{4} \right)\\\left(y^2+\left( 1-\frac{ \sqrt{10+2 \sqrt{41} } }{2}\right)y+ \frac{5+ \sqrt{41} }{4}+\frac{ \sqrt{10+2 \sqrt{41} } }{2} \cdot \frac{3- \sqrt{41} }{4} \right)=0}\)

Teraz wystarczy policzyć wyróżniki tych trójmianów kwadratowych

[bosa_Nike]

AM-GM jest imho w tym przypadku mniej naturalne od zwinięcia, ale można i tak.

Dla nieujemnych: \(\displaystyle{ \left(y^4+1+1+1\right)+2y^3+y^2+1>4y}\)

Dla ujemnych niech \(\displaystyle{ -y=t>0}\), wtedy: \(\displaystyle{ \left(t^4+t^2\right)+4t+4>2t^3}\)