Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^3 - qx+2=0}\) to
\(\displaystyle{ ab}\) jest pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ x^3+ qx^2 - 4=0}\)
Pierwiastki i równania
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11367
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Pierwiastki i równania
Niech trzecim pierwiastkiem pierwszego równania będzie ,,c'. Wtedy wzory Viety mają postać:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b+c=0 \\ab+c(a+b)=-q \\ abc=-2 \end{cases} \ \ \Rightarrow \ \
\begin{cases} a+b=-c \\ab-(a+b)^2=-q \\ ab(a+b)=2 \end{cases}}\)
Wstawiam ,,ab' do lewej strony drugiego równania
\(\displaystyle{ L=(ab)^3+q(ab)^2-4=(ab)^3-\left[ ab-(a+b)^2\right] (ab)^2-4=\\=(ab)^3-(ab)^3
+\left[ ab(a+b)\right] ^2-4=2^2-4=0}\)
Wielomian dla wartości ,,ab' się wyzerował więc zgodnie z twierdzeniem Bezout jest ona pierwiastkiem drugiego równania.
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b+c=0 \\ab+c(a+b)=-q \\ abc=-2 \end{cases} \ \ \Rightarrow \ \
\begin{cases} a+b=-c \\ab-(a+b)^2=-q \\ ab(a+b)=2 \end{cases}}\)
Wstawiam ,,ab' do lewej strony drugiego równania
\(\displaystyle{ L=(ab)^3+q(ab)^2-4=(ab)^3-\left[ ab-(a+b)^2\right] (ab)^2-4=\\=(ab)^3-(ab)^3
+\left[ ab(a+b)\right] ^2-4=2^2-4=0}\)
Wielomian dla wartości ,,ab' się wyzerował więc zgodnie z twierdzeniem Bezout jest ona pierwiastkiem drugiego równania.
-
- Użytkownik
- Posty: 22204
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3753 razy
Pierwiastki i równania
Zaproponuję coś takiego:
\(\displaystyle{ (x-ab)(x-bc)(x-ca)=x^3-(ab+bc+ca)x^2+(a^2bc+a^b^2c+abc^2)x-(abc)^2}\)
i
\(\displaystyle{ ab+bc+ca=-q}\)
\(\displaystyle{ a^2bc+a^b^2c+abc^2=abc(a+b+c)=0}\)
\(\displaystyle{ (abc)^2=2}\)
\(\displaystyle{ (x-ab)(x-bc)(x-ca)=x^3-(ab+bc+ca)x^2+(a^2bc+a^b^2c+abc^2)x-(abc)^2}\)
i
\(\displaystyle{ ab+bc+ca=-q}\)
\(\displaystyle{ a^2bc+a^b^2c+abc^2=abc(a+b+c)=0}\)
\(\displaystyle{ (abc)^2=2}\)