Pierwiastki i równania

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są pierwiastkami równania \(\displaystyle{ x^3 - qx+2=0}\) to
\(\displaystyle{ ab}\) jest pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ x^3+ qx^2 - 4=0}\)

[kerajs]

Niech trzecim pierwiastkiem pierwszego równania będzie ,,c'. Wtedy wzory Viety mają postać:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b+c=0 \\ab+c(a+b)=-q \\ abc=-2 \end{cases} \ \ \Rightarrow \ \
\begin{cases} a+b=-c \\ab-(a+b)^2=-q \\ ab(a+b)=2 \end{cases}}\)

Wstawiam ,,ab' do lewej strony drugiego równania
\(\displaystyle{ L=(ab)^3+q(ab)^2-4=(ab)^3-\left[ ab-(a+b)^2\right] (ab)^2-4=\\=(ab)^3-(ab)^3
+\left[ ab(a+b)\right] ^2-4=2^2-4=0}\)
Wielomian dla wartości ,,ab' się wyzerował więc zgodnie z twierdzeniem Bezout jest ona pierwiastkiem drugiego równania.

[a4karo]

Zaproponuję coś takiego:

\(\displaystyle{ (x-ab)(x-bc)(x-ca)=x^3-(ab+bc+ca)x^2+(a^2bc+a^b^2c+abc^2)x-(abc)^2}\)
i
\(\displaystyle{ ab+bc+ca=-q}\)
\(\displaystyle{ a^2bc+a^b^2c+abc^2=abc(a+b+c)=0}\)
\(\displaystyle{ (abc)^2=2}\)