Jak rozwiązać to równanie

sindbad · Post autor: **sindbad** » 29 gru 2015, o 22:04

Nie mam pomysłu jak rozłożyć to na czynniki:
\(\displaystyle{ x ^{4} -3x ^{3} +3x -1}\)
Niby da się to zrobić przez znalezienie pierwiastka wymiernego, np \(\displaystyle{ 1}\) i podzielenia przez \(\displaystyle{ (x-1)}\) ale potem trzeba robić jeszcze raz to samo, a zdaje mi się, że jest łatwiejszy sposób.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 29 gru 2015, o 22:07

Wyłącz \(\displaystyle{ 3x}\) ze środkowych wyrazów, a skrajne rozloz

sindbad · Post autor: **sindbad** » 29 gru 2015, o 23:10

Potrzebuję jeszcze pomocy w jednym przykładzie. Z reguły te rozwiązania są banalne, a można siedzieć godzinę i nic nie wymyślić...
\(\displaystyle{ -4x ^{4} -x ^{2} +3x-1}\)

Straznik Teksasu · Post autor: **Straznik Teksasu** » 29 gru 2015, o 23:17

Jest łatwiejszy sposób:

Przypuszczamy, że \(\displaystyle{ (x-1)}\) jest jednym z czynników, więc tak rozkładamy wyrazy zaczynając od najwyższej potęgi aby z każdej pary wyrazów wyciągnąć szukany wspólny czynnik \(\displaystyle{ (x-1)}\)

\(\displaystyle{ x^{4}-x^{3}+.....}\)- z tej pary wyciągniemy czynnik

\(\displaystyle{ x^{4}-x^{3}-2x^{3} +.....}\) dodajemy resztę aby współczynnik \(\displaystyle{ -3x^{3}}\) się zgadzał

\(\displaystyle{ x^{4}-x^{3}-2x^{3} +2x^{2}+.....}\) - kolejny rozkład itd., Jeśli na końcu nic nie zostanie to znaczy, że rzeczywiście możemy wyłączyć \(\displaystyle{ (x-1)}\)

\(\displaystyle{ x^{4}-x^{3}-2x^{3}+2x^{2}-2x^{2}+2x+x-1=...}\)

-- 29 gru 2015, o 23:34 --

sindbad pisze:Potrzebuję jeszcze pomocy w jednym przykładzie. Z reguły te rozwiązania są banalne, a można siedzieć godzinę i nic nie wymyślić...
\(\displaystyle{ -4x ^{4} -x ^{2} +3x-1}\)

Ewentualnie zamiast myśleć możesz liczyć. Robisz podstawienie \(\displaystyle{ x= \frac{y}{4^4}}\), a następnie mnożysz równanie przez \(\displaystyle{ 4^3}\). Szukasz rozwiązań dla \(\displaystyle{ y}\) wśród dzielników wyrazu wolnego. Jak trafisz to masz \(\displaystyle{ y}\) a co za tym idzie \(\displaystyle{ x}\). Jednak lepiej wpaść jakoś inaczej na rozwiązanie niż się tak męczyć tymi obliczeniami np. wklepać do wolframa żeby wiedzieć gdzie są rozwiązania, aby potem powyciągać te czynniki sposobem, który pokazałem.

sindbad · Post autor: **sindbad** » 29 gru 2015, o 23:36

W takim razie jak można rozpisać ten drugi przykład który podałem ?

Straznik Teksasu · Post autor: **Straznik Teksasu** » 29 gru 2015, o 23:45

Wpisałem do wolframu. Ten wielomian ma pierwiastek podwójny w \(\displaystyle{ x= \frac{1}{2}}\) oraz ma 2 pierwiastki zespolone.

Czyli 2 razy wyciągasz czynnik \(\displaystyle{ (x- \frac{1}{2})}\). Potem zostaje trójmian kwadratowy, który rozwiązujesz deltą.

SlotaWoj · Post autor: **SlotaWoj** » 30 gru 2015, o 00:12

Ten wielomian ma cztery różne pierwiastki rzeczywiste.

Edit:
Nie zauważyłem, że w temacie są dwa równania. Powyższa uwaga dotyczy pierwszego z nich.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 3 sty 2016, o 15:12

\(\displaystyle{ -4x ^{4} -x ^{2} +3x-1=-4\left( x^2-px+q\right)\left( x^2+px+r\right)}\)

Spróbuj takiego rozkładu

Zadziała ponieważ współczynnik przy \(\displaystyle{ x^3}\) jest zerowy
a współczynnik przy \(\displaystyle{ x}\) jest niezerowy