Zad. maturalne rozwiązane w inny sposób.
-
- Użytkownik
- Posty: 61
- Rejestracja: 30 mar 2011, o 12:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wawa
- Podziękował: 14 razy
Zad. maturalne rozwiązane w inny sposób.
Mam wykazać, że liczba \(\displaystyle{ \sqrt[3]{5 \sqrt{2}+7 } -\sqrt[3]{5 \sqrt{2}-7 }}\) jest całkowita. Jest to zadanie maturalne, które można oczywiście rozwiązać przez przyrównanie liczby do x, podniesienie obustronne do potęgi 3 itd. Czy ktoś wie jednak , jak zostałoby ocenione na maturze takie rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{5 \sqrt{2}+7 } -\sqrt[3]{5 \sqrt{2}-7 } = 2 \sqrt{2}+6+3 \sqrt{2}+1 - (2 \sqrt{2} - 6+3 \sqrt{2} - 1) = \sqrt{2} ^{3} + 3 \sqrt{2} ^{2}*1+3 \sqrt{2}*1 ^{2}+1 ^{3} - (\sqrt{2} ^{3} - 3 \sqrt{2} ^{2}*1+3 \sqrt{2}*1 ^{2}-1 ^{3}) = \sqrt[3]{( \sqrt{2}+1 ) ^{3}} - \sqrt[3]{( \sqrt{2}-1 ) ^{3}}=\sqrt{2}+1 -\sqrt{2}+1= 2}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{5 \sqrt{2}+7 } -\sqrt[3]{5 \sqrt{2}-7 } = 2 \sqrt{2}+6+3 \sqrt{2}+1 - (2 \sqrt{2} - 6+3 \sqrt{2} - 1) = \sqrt{2} ^{3} + 3 \sqrt{2} ^{2}*1+3 \sqrt{2}*1 ^{2}+1 ^{3} - (\sqrt{2} ^{3} - 3 \sqrt{2} ^{2}*1+3 \sqrt{2}*1 ^{2}-1 ^{3}) = \sqrt[3]{( \sqrt{2}+1 ) ^{3}} - \sqrt[3]{( \sqrt{2}-1 ) ^{3}}=\sqrt{2}+1 -\sqrt{2}+1= 2}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 426
- Rejestracja: 29 paź 2015, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 90 razy
Zad. maturalne rozwiązane w inny sposób.
Tylko na maturze żebyś nie zapomniał tego pierwiastka dopisać
- musialmi
- Użytkownik
- Posty: 3466
- Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PWr ocław
- Podziękował: 382 razy
- Pomógł: 434 razy
Zad. maturalne rozwiązane w inny sposób.
To rozwiązanie jest znacznie prostsze, ale czy łatwo na to wpaść?
Btw co po tym podniesieniu do trzeciej potęgi? Mamy \(\displaystyle{ x^3=14-3x}\) i trzeba rozwiązać wielomian?
Btw co po tym podniesieniu do trzeciej potęgi? Mamy \(\displaystyle{ x^3=14-3x}\) i trzeba rozwiązać wielomian?
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Zad. maturalne rozwiązane w inny sposób.
Podniesienie do trzeciej poęgi nic Ci nie da, boJest to zadanie maturalne, które można oczywiście rozwiązać przez przyrównanie liczby do x, podniesienie obustronne do potęgi 3 itd.
\(\displaystyle{ (a-b)^3 = a^3 - 3a^2 b + 3ab^2 - b^3}\),
a więc będziesz miał dwa niepożądane czynniki - te z kwadratami \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)
Spróbuj może pokombinować ze wzorami na różnicę sześcianów \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 426
- Rejestracja: 29 paź 2015, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 90 razy
Zad. maturalne rozwiązane w inny sposób.
\(\displaystyle{ a-b=x}\)
\(\displaystyle{ (a-b)^3 = a^3 - 3a^2 b + 3ab^2 - b^3= a^3 - 3ab(a-b) - b^3}\)
\(\displaystyle{ x^3=a^3-3abx-b^3}\)
@Dilectus czynniki z kwadratami poznikały. Jeśli rzeczywiście \(\displaystyle{ a-b}\) jest wymierne to otrzymamy wielomian 3 stopnia ze współczynnikami całkowitymi, którego rozwiązanie znajduje się w zbiorze dzielników wyrazu wolnego.
\(\displaystyle{ (a-b)^3 = a^3 - 3a^2 b + 3ab^2 - b^3= a^3 - 3ab(a-b) - b^3}\)
\(\displaystyle{ x^3=a^3-3abx-b^3}\)
@Dilectus czynniki z kwadratami poznikały. Jeśli rzeczywiście \(\displaystyle{ a-b}\) jest wymierne to otrzymamy wielomian 3 stopnia ze współczynnikami całkowitymi, którego rozwiązanie znajduje się w zbiorze dzielników wyrazu wolnego.
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Zad. maturalne rozwiązane w inny sposób.
Tak przypuszczałem, ale z czystego lenistwa nie liczyłem.Straznik Teksasu pisze:\(\displaystyle{ a-b=x}\)
@Dilectus czynniki z kwadratami poznikały.
-
- Użytkownik
- Posty: 61
- Rejestracja: 30 mar 2011, o 12:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wawa
- Podziękował: 14 razy
Zad. maturalne rozwiązane w inny sposób.
To jak w końcu myślicie, przeszłoby takie rozwiązanie na maturze?
-
- Użytkownik
- Posty: 821
- Rejestracja: 22 lut 2013, o 19:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 84 razy
- Pomógł: 45 razy
Zad. maturalne rozwiązane w inny sposób.
Wydaje mi się że w tym zadaniu to o to właśnie chodziło aby wzorów skróconego mnożenia użyć, a przeszło by raczej na pewno. Oczywiście jak dobrze rozwiążesz.