Dany jest wielomian : \(\displaystyle{ x^3+3x^2+bx+c}\). Znajdź \(\displaystyle{ b,c}\) jeśli jego trzy pierwiastki tworzą ciąg arytmetyczny o róznicy \(\displaystyle{ 1}\).
Pierwiastki z polecenia to :\(\displaystyle{ x,x+1,x+2}\) albo \(\displaystyle{ x,x-1,x-2}\).
Ze wzorów vieta mamy że \(\displaystyle{ 3x+3=-3 \vee 3x-3=-3}\). Czyli \(\displaystyle{ x=-2 \vee x=0}\).
Dodatkowo wiemy że \(\displaystyle{ x_{1}x_{2}x_{3}=-c \wedge x_{1}x_{2} + x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}=b}\).
Podstawiając wartości pierwiastków do powyższych wzorów\(\displaystyle{ -2,-1,0}\) albo \(\displaystyle{ 0,-1,-2}\) obliczamy że \(\displaystyle{ c=0,b=2}\).
Czy dobrze to rozwiązałem?
Ukryta treść:
W momencie pisania tematu zauważyłem gdzie zrobiłem błąd przez co miałem dwa różne wyniki. Teraz jest dobrze ale i tak proszę o formalne sprawdzenie.
Nie oznaczaj pierwiastków zmienną \(\displaystyle{ x}\), to może prowadzić do konfliktu oznaczeń i samemu możes sie pogubić co jest zmienną a co pierwiastkiem.
A po co rozpatrujesz dwa przypadki? jeżli \(\displaystyle{ z}\) oznacza najmniejszy z nich, to pozostałe sa równe \(\displaystyle{ z+1}\) i \(\displaystyle{ z+2}\).
A jeszcze prościej: jeżeli \(\displaystyle{ z}\) jest środkowym, to pozostałe to\(\displaystyle{ z\pm 1}\).
Pokombinowłeś, ale w sumie wynik masz poprawny
Ostatnio zmieniony 15 gru 2015, o 18:49 przez Kacperdev, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód:Troszkę LaTeX się zaplątał.
Kacperdev, Racja , źle to tu przepisałem , na kartce jak rozwiązywałem oczywiście wszystko mam z indeksami opisane.
Kacperdev, a4karo, A co do drugiego przypadku wydawało mi się że jest różnica. Ciężko mi wytłumaczyć jaka bo zasugerowałem się podpowiedzią kerajsa z tematu 399218.htm żeby rozpatrzeć dwa ciągi, gdy jeden jest malejący a drugi rosnący.
Analogicznie chciałem to przełożyć w tym przykładzie.
Natomiast podpowiedź z tym aby najpierw zacząć definiować sobie te pierwiastki od środkowego , jest faktycznie logiczna.
żeby rozpatrzeć dwa ciągi, gdy jeden jest malejący a drugi rosnący.
W poleceniu masz, że miejsca zerowe tworzą ciąg arytmetyczny. Rozpatrzenie tego na dwa przypadki jest bezsensu, co pewnie sam zauważyłeś po odpowiedzi. W obu przypadkach wyjdzie inne \(\displaystyle{ z}\), ale sam ciąg bedzie taki sam. Punkt wyjscia będzie się różnić. Monotoniczność w tym wypadku milczy.