Wielomian i pierwiastki

[Milczek]

Znajdź współczynniki wielomianu \(\displaystyle{ x^3-7x^2+bx+c}\) jeżeli ma on trzy pierwiastki które są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie \(\displaystyle{ 2}\). Czy jedyna metoda to rozwiązać uklad równań z pierwiastkami \(\displaystyle{ x_{1},x_{2}=2x_{1},x_{3}=4x_{1}}\)? Jest to niesamowicie pracochłonne i nie chciałbym zaskoczyć się takim zadaniem na maturze.

[kerajs]

Wzory Vieta:
\(\displaystyle{ x _{1} +x _{2}+x _{3}= \frac{-7}{1} \\ x _{1} +2x _{1}+4x _{1}= -7 \\ x _{1} =-1}\)
Dodatkowo
\(\displaystyle{ x _{1}x _{2}+x _{1}x _{2} +x _{2}x _{3}= \frac{b}{1} \wedge x _{1} x _{2}x _{3}= \frac{-c}{1}}\)
Wystarczy wstawić wartości pierwiastków.


Ps. Warto się jeszcze zastanowić czy Twój ciąg to -1,-2,-4,.... czy może też -4,-2,-1,....

Edit .
Sorry za pomyłkę, ale przynajmniej idea była dobra.
Wzory Vieta dla \(\displaystyle{ Ax^3+Bx^2+Cx+D=0}\) :
\(\displaystyle{ x _{1} +x _{2}+x _{3}= \frac{-B}{A} \wedge x _{1}x _{2}+x _{1}x _{2} +x _{2}x _{3}= \frac{C}{A} \wedge x _{1} x _{2}x _{3}= \frac{-D}{A}}\)

Ps 2. q=2 to narzuca tylko jedno rozwiązanie: 1,2,4

[Milczek]

Racja, a genralnie jeszcze jakieś alternatywne rozwiązanie?

[Ania221]

Czy nie powinno być

\(\displaystyle{ x _{1} +x _{2}+x _{3}= \frac{-(-7)}{1} \\ x _{1} +2x _{1}+4x _{1}= 7 \\ x _{1} =1}\) ?

[Milczek]

Raczej nie. Na pewno.

-- 15 gru 2015, o 13:55 --

A może jednak, patrzę na Wikipedię ale nie jestem do końca już pewien.-- 15 gru 2015, o 14:41 --Po poprawce Ani faktycznie uzyskuje poprawne wartosci \(\displaystyle{ b=14,c=-8}\).Dziękuję ślicznie

[piasek101]

Nieco bardziej naturalnie :

\(\displaystyle{ (x^3-7x^2+bx+c)=(x-x_1)(x-2x_1)(x-4x_1)}\)

[Milczek]

Zgadza sie też dobry wynik. Dzięki