Wielomian 3 stopnia, dowód

[osa750]

Mam problem z zadaniem, próbowałem już na kilka różnych sposobów, ale zadanie opiera się wszelkim metodom jakie próbowałem. Jakieś pomysły? Nie muszę mieć gotowego rozwiązania, potrzebuję choćby wskazówki:

Udowodnij, że jeżeli liczba rzeczywista \(\displaystyle{ a}\) jest rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ x^3-3x+1=0}\)
to liczba \(\displaystyle{ a^2-2}\) również jest rozwiązaniem tego równania

[Premislav]

Wiesz, że \(\displaystyle{ a^{3}-3a+1=0}\), a masz pokazać, że \(\displaystyle{ (a^{2}-2)^{3}-3(a^{2}-2)+1=0}\).
W tym celu możesz zauważyć, że nic się nie zmieni, gdy odejmiesz od \(\displaystyle{ (a^{2}-2)^{3}-3(a^{2}-2)+1=0}\) rozpisane zero, czyli \(\displaystyle{ (a^{3}-3a+1)^{2}}\). Po redukcji powinna Ci wyjść jakaś wielokrotność \(\displaystyle{ a^{3}-3a+1}\) (upewniłem się co do tego z pomocą wolframa), a wiesz z założenia, że to jest zerem.

Można też powalczyć ze wzorów Viete'a dla wielomianu trzeciego stopnia, ale nie mam na razie pomysłu jak.

-- 11 gru 2015, o 20:50 --

Aha, tak naprawdę to trzeba by ten dowód przepisać w odwrotnej kolejności, bo ktoś jeszcze by wyskoczył, że to dowód przez założenie tezy (co nie jest do końca prawdą, ale może to tak wyglądać).
Tj. masz jakąś odpowiednią krotność \(\displaystyle{ a^{3}-3a+1}\), wiesz z treści, że to jest zero, do tego dodajesz znów zero w postaci \(\displaystyle{ (a^{3}-3a+1)^{2}}\) i dostajesz
\(\displaystyle{ 0=(a^{2}-2)^{3}-3(a^{2}-2)+1}\)
Ale skądś trzeba było wiedzieć, jaką wziąć krotność \(\displaystyle{ a^{3}-3a+1}\)

[osa750]

kurcze, byłem bardzo blisko rozwiązania dzięki!

edit: Jak by ktoś znalazł prostszy sposób (nie, żeby ten był zły czy coś) to również może napisać zapraszam

[Qń]

Nie wiem czy prostszy, ale trochę inaczej:

Wiemy, że \(\displaystyle{ a^3-3a+1=0}\). Łatwo stąd obliczyć, że \(\displaystyle{ a^2-2= 1- \frac 1a}\). W takim razie:
\(\displaystyle{ (a^2-2)^3- 3 (a^2-2) +1 = \left( 1 - \frac 1a\right)^3 - 3 \left( 1- \frac 1a\right) +1 =\\ = 1 - \frac 3a + \frac{3}{a^2} - \frac{1}{a^3}-3 + \frac 3a +1 = -1 +\frac{3}{a^2} - \frac{1}{a^3}= - \frac{a^3-3a+1}{a^3} = 0}\)

Q.

[a4karo]

Nie wiem czy prostszy, ale trochę inaczej:

Wiemy, że \(\displaystyle{ a^3-3a+1=0}\). Łatwo stąd obliczyć, że \(\displaystyle{ a^2-2= 1- \frac 1a}\). W takim razie:
\(\displaystyle{ (a^2-2)^3- 3 (a^2-2) +1 = \left( 1 - \frac 1a\right)^3 - 3 \left( 1- \frac 1a\right) +1 =\\ = 1 - \frac 3a + \frac{3}{a^2} - \frac{1}{a^3}-3 + \frac 3a +1 = -1 +\frac{3}{a^2} - \frac{1}{a^3}= - \frac{a^3-3a+1}{a^3} = 0}\)

Q.

To ładne rozwiązanie dla kompletności wymaga jednej uwagi: że :prawdziwe jest następujące zdanie

"Jeżeli \(\displaystyle{ 0}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ x^3-3x+1}\), to \(\displaystyle{ -2}\) też jest jego pierwiastkiem."