postać iloczynowa wielomianu

[slonko]

Postać ogólna wielomianu to \(\displaystyle{ W(x)= a_{n}x^{n}+...+ a_{1}x+ a_{0}}\)
Postać iloczynowa wielomianu \(\displaystyle{ W(x)= a_{n}(x- x_{n}) \cdot ... \cdot (x- x_{2})(x- x_{1})}\)

Czy wielomian \(\displaystyle{ Q(x)=x (x+1)^{2}(x-2)^{3}}\) jest przedstawiny w postaci iloczynowej (jak tak to dlaczego)?
i czy każdy wielomian da się przedstawić w postaci iloczynowej?

[a4karo]

Spróbuj sama sformułować i uzasadnić odpowiedź na pierwsze pytanie.
Na drugie pytanie odpowiedź zależy od tego w jakim ciele szukamy pierwiastków. Jeżeli mówimy o \(\displaystyle{ x\in\RR}\) i współczynnikach rzeczywistych, odpowiedź brzmi - NIE. Sama znajdż przykłąd.

[slonko]

Mówimy o \(\displaystyle{ x}\) należacym do \(\displaystyle{ R}\)

Wielomian \(\displaystyle{ Q(x)}\) można rozpisać:
\(\displaystyle{ Q(x)=x(x+1)(x+1)(x-2)(x-2)(x-2)}\).

Czy postać iloczynowa zakłada również pierwiastki \(\displaystyle{ k}\) krotne?

[a4karo]

Oczywiście, że tak. Dla kompletu możęsz zapisax \(\displaystyle{ x}\) w postaci \(\displaystyle{ (x-0}\)

[slonko]

Dziękuje

[Mariusz M]

Teoretycznie każdy wielomian każdy wielomian da się rozłożyć na czynniki co najwyżej kwadratowe
(liniowe i kwadratowe nierozkładalne) ale w praktyce powyżej czwartego stopnia
jest to niemożliwe jeżeli korzystamy tylko z pierwiastników
chociaż nawet w przypadku równań trzeciego stopnia jeśli ograniczymy się do
rzeczywistych pierwiastników to musimy korzystać z funkcji trygonometrycznych