Wykres wielomianu.

[JaMatmyNieKumamNic]

Cześć Wam! Po 1, strasznie zależy mi na czasie, po 2 jeżeli zły dział proszę o przeniesienie w poprawny, po 3 potrzebuję Waszej pomocy na poziomie 2/3 technikum.

1 ZADANIE

\(\displaystyle{ w(x)=(x-3)(x-1)(x+2)}\)

moja nau-lka każe zapisywać, że \(\displaystyle{ x=3, x=1}\) i \(\displaystyle{ x=-2}\). Wpisuje te liczby na wykres, wszystko pięknie, tylko w załączonym zdjęciu mam zaznaczone również \(\displaystyle{ 6}\) na OSI \(\displaystyle{ Y}\), mógłby ktoś to szybko i zwięźle wytłumaczyć?



2 ZADANIE

\(\displaystyle{ w(x)=(1-x)(x ^{2}+4x-5)}\) <-- mógłbym poprosić o wytłumaczenie tego przykładu?

3 ZADANIE

\(\displaystyle{ x^{4}-2x^{2}+1=0}\) <-- mógłbym poprosić o wytłumaczenie tego przykładu?


Jestem strasznie śpiący, a jutro muszę napisać test z tego, proszę nie usuwajcie tego jeżeli źle powpisywałem kod w tagi \(\displaystyle{ , te wytłuszczone liczby obok niektórych cyfr to potęgi.}\)

[loitzl9006]

1 Zadanie
Na osi \(\displaystyle{ Y}\) wszystkie punkty mają współrzędną \(\displaystyle{ X=0}\)
Ta \(\displaystyle{ 6}\) na osi \(\displaystyle{ Y}\) wzięła się stąd, że dla \(\displaystyle{ x=0}\) wielomian przyjmuje wartość właśnie \(\displaystyle{ 6}\):
\(\displaystyle{ w(0)=(0-3)(0-1)(0+2)=-3\cdot(-1)\cdot2=3\cdot2=6}\)

Zaś liczby \(\displaystyle{ x=3, \ x=1}\) i \(\displaystyle{ x=-2}\) wzięły się z przyrównania nawiasów do zera:

\(\displaystyle{ (x-3)=0 \ \vee\ (x-1)=0\ \vee\ (x+2)=0\\ x=3, \ \vee \ x=1, \vee \ x=-2}\)

2 Zadanie
Z pierwszego nawiasu masz \(\displaystyle{ (1-x)=0}\) czyli \(\displaystyle{ x=1}\)
Z drugiego nawiasu masz \(\displaystyle{ (x^2+4x-5)=0}\)
tutaj normalnie wyznaczasz \(\displaystyle{ x_1, \ x_2}\) z delty, wyjdzie \(\displaystyle{ x_1=1, \ x_2=-5}\)

zobacz , wyszło \(\displaystyle{ x=1, \ x=1, \ x=-5}\) czyli tutaj na wykres nanosisz tylko dwie liczby: \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -5}\)
Ważne - \(\displaystyle{ x=1}\) powtórzyło się dwa razy - jeśli coś się powtórzy dwukrotnie (ogólnie - parzystą ilość razy) to wykres wielomianu odbija się od osi \(\displaystyle{ X}\)

3 zadanie
\(\displaystyle{ x^4-2x^2+1=0}\)

Zauważ, że \(\displaystyle{ x^4=(x^2)^2}\)

\(\displaystyle{ (x^2)^2-2x^2+1=0}\)
można podstawić \(\displaystyle{ x^2=t}\) żeby mieć (normalne) kwadratowe

\(\displaystyle{ t^2-2t+1=0}\) delta wychodzi zero więc \(\displaystyle{ t_0=\frac{-b}{2a}=\frac2{2\cdot1}=1}\)

wracasz do zmiennej \(\displaystyle{ x}\) więc

\(\displaystyle{ t=1\ \to \ x^2=1}\)

Rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ x^2=1}\) są: \(\displaystyle{ x_1=1, \ x_2=-1}\) i nanosisz te liczby na wykres (obie są pojedyncze, więc wykres 'leci' normalnie)

[JaMatmyNieKumamNic]

A mógłbyś mi podać (jeżeli znasz takową stronę) wzory, które będę potrzebować do tematu wielomianów? + Dziekuję za pomoc, nie zrozumiałem do końca 3ciego, ale reszta jak najbardziej mi pomogła heh

[loitzl9006]

na początek dobrze jest sobie uświadomić, że liczba \(\displaystyle{ x^2}\) nie może być ujemna
dlaczego ?
nawet jeśli \(\displaystyle{ x}\) będzie ujemny, np. \(\displaystyle{ x=-3}\), to \(\displaystyle{ x^2}\) będzie dodatni:

\(\displaystyle{ x^2=(-3)^2=(-3)\cdot (-3)=+9}\)

podstawienia \(\displaystyle{ x^2=t}\) używasz w takich wielomianach, gdzie masz (tylko) coś z \(\displaystyle{ x^4}\) oraz coś z \(\displaystyle{ x^2}\). Wtedy \(\displaystyle{ x^4}\) zamienia ci się na \(\displaystyle{ t^2}\), a \(\displaystyle{ x^2}\) zamienia się na \(\displaystyle{ t}\).

Dostajesz normalne kwadratowe równanie tyle że jest w nim \(\displaystyle{ t}\) a nie \(\displaystyle{ x}\) Takie równanie rozwiązujesz z delty. Jeśli \(\displaystyle{ \Delta>0}\) to liczysz \(\displaystyle{ t_1}\) i \(\displaystyle{ t_2}\) w taki sam sposób jak to robisz z \(\displaystyle{ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}\) i \(\displaystyle{ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\). Jeśli \(\displaystyle{ \Delta=0}\) tak jak w trzecim przykładzie to korzystasz ze wzoru \(\displaystyle{ t=\frac{-b}{2a}}\)

Potem zamieniasz \(\displaystyle{ t}\) na \(\displaystyle{ x^2}\) i np. jeśli wyszłoby (z delty) \(\displaystyle{ t_1=-4, \ \ t_2=7}\), to wtedy masz

\(\displaystyle{ x^2=-4, \ \ x^2=7}\) - rozwiązujesz oba równania

\(\displaystyle{ x^2=-4}\) - czy na pewno jest liczba rzeczywista która podniesiona do kwadratu da wynik \(\displaystyle{ -4}\) ? nie ma - dlatego tutaj nie ma rozwiązań

\(\displaystyle{ x^2=7}\) - z tego masz \(\displaystyle{ x=\sqrt7}\) oraz \(\displaystyle{ x=-\sqrt7}\)

Bo \(\displaystyle{ (\sqrt7)^2=7}\) oraz \(\displaystyle{ (-\sqrt7)^2=7}\)

- i te liczby \(\displaystyle{ \sqrt7}\) i \(\displaystyle{ -\sqrt7}\) nanosisz na wykres