Wyznacz resztę dzielenia wielomianu przez wielomian

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Frynio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 115
Rejestracja: 10 paź 2015, o 02:55
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 32 razy

Wyznacz resztę dzielenia wielomianu przez wielomian

Post autor: Frynio »

Witam. Mam wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu przez wielomian, nie wykonując dzielenia:

\(\displaystyle{ L(x)=x^{100}+2x^{40}-x+1}\)
\(\displaystyle{ M(x)=x^3+x^2+x+1}\)

No i mam tak:

\(\displaystyle{ M(x)=(x+1)(x-i)(x+i)}\)

\(\displaystyle{ W(1)=5}\)
\(\displaystyle{ W(i)=4-i}\)
\(\displaystyle{ W(-i)=4+i}\)

Jak teraz mogę dojść do tej reszty?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Wyznacz resztę dzielenia wielomianu przez wielomian

Post autor: a4karo »

Czym jest reszta?
Frynio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 115
Rejestracja: 10 paź 2015, o 02:55
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 32 razy

Wyznacz resztę dzielenia wielomianu przez wielomian

Post autor: Frynio »

Reszta z dzielenia wielomianu przez wielomian

\(\displaystyle{ W(x)=Q(x)\cdot P(x)+R(x)}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Wyznacz resztę dzielenia wielomianu przez wielomian

Post autor: a4karo »

Coś więcej o nim? stopień?
Frynio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 115
Rejestracja: 10 paź 2015, o 02:55
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 32 razy

Wyznacz resztę dzielenia wielomianu przez wielomian

Post autor: Frynio »

No przecież to jest \(\displaystyle{ L(x)}\), czyli stopień to \(\displaystyle{ 100}\), a \(\displaystyle{ M(x)}\) to \(\displaystyle{ 3}\). Nie wiem jak ze stopniem reszty

Te \(\displaystyle{ W(1)}\) itd. to sam obliczyłem
Ostatnio zmieniony 24 lis 2015, o 20:19 przez Frynio, łącznie zmieniany 1 raz.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Wyznacz resztę dzielenia wielomianu przez wielomian

Post autor: a4karo »

A reszta z dzielenia 234 przez 5 może być 7?
Frynio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 115
Rejestracja: 10 paź 2015, o 02:55
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 32 razy

Wyznacz resztę dzielenia wielomianu przez wielomian

Post autor: Frynio »

No nie może, a co?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Wyznacz resztę dzielenia wielomianu przez wielomian

Post autor: a4karo »

Tak zamo reszta nie może mieć zbyt dużego stopnia. MAksymalny to???

Znasz algorytm dzielenia wielomianów? Kiedy sie kończy?
Frynio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 115
Rejestracja: 10 paź 2015, o 02:55
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 32 razy

Wyznacz resztę dzielenia wielomianu przez wielomian

Post autor: Frynio »

Kiedy to, co nam zostanie z poprzedniego dzielenia jest niższego stopnia, niż wielomian, przez który dzielimy. I wtedy to jest reszta. Pytanie, czy to będzie \(\displaystyle{ R(x)=ax^2+bx+c}\), czy \(\displaystyle{ R(x)=ax+b}\)
Ostatnio zmieniony 24 lis 2015, o 20:42 przez Frynio, łącznie zmieniany 1 raz.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Wyznacz resztę dzielenia wielomianu przez wielomian

Post autor: a4karo »

Na pewno bezie to wielomian stopnia \(\displaystyle{ \leq 2}\). Musisz więc załozyc stopień 2, choc w trakcie obliczeń może sie okazac, że ma niższy stopień.

Jego wspólczynniki masz wyznaczyć. Jak? Wstaw do równania
\(\displaystyle{ L(x)=Q(x)\cdot M(x)+R(x)}\) znalezione pierwiastki \(\displaystyle{ M}\)

nb, czemu w przytoczonym wzorze użyłeś \(\displaystyle{ W(x)=Q(x)\cdot P(x)+R(x)}\) a nie \(\displaystyle{ L,M}\) danych w zadaniu?
Frynio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 115
Rejestracja: 10 paź 2015, o 02:55
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 32 razy

Wyznacz resztę dzielenia wielomianu przez wielomian

Post autor: Frynio »

Bo dla \(\displaystyle{ R(x)=ax^2+bx+c}\) nic mi nie wychodzi

Ale dla \(\displaystyle{ R(x)=ax+b}\)

Wychodzi, że\(\displaystyle{ a=-1}\), a \(\displaystyle{ b=4}\)

I w którym momencie ja mogę sobie stwierdzić, że to wielomian danego stopnia, a nie innego?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Wyznacz resztę dzielenia wielomianu przez wielomian

Post autor: a4karo »

Stwierdzisz to dopiero licząc współczynniki. Zauważ, że masz trzy współczynniki i trzy równania. To wystarcza do rozwiązania.

Może pokażesz jakies obliczenia?
Frynio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 115
Rejestracja: 10 paź 2015, o 02:55
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 32 razy

Wyznacz resztę dzielenia wielomianu przez wielomian

Post autor: Frynio »

\(\displaystyle{ R(x)=ax^2+bx+c}\):

\(\displaystyle{ a-b+c=5}\)
\(\displaystyle{ -a+bi+c=4-i}\)
\(\displaystyle{ a-bi+c=4+i}\)

\(\displaystyle{ R(x)=ax+b}\):

\(\displaystyle{ -a+b=5}\)
\(\displaystyle{ ai+b=4-i}\)
\(\displaystyle{ -ai+b=4+i}\)

Czyli \(\displaystyle{ a=-1}\) i \(\displaystyle{ b=4}\) (porównując części rzeczywiste i zespolone)

Pytanie jest takie - kiedy mogę stwierdzić, że to jest \(\displaystyle{ R(x)=ax+b}\), a nie \(\displaystyle{ R(x)=ax^2+bx+c}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Wyznacz resztę dzielenia wielomianu przez wielomian

Post autor: a4karo »

Nie możęsz zakłądać, że reszta jest stopnia 1.
Rozwiąż ten pierwszy kłąd. Jeżeli okaże się, że \(\displaystyle{ a=0}\), to reszta bedzi stopnia 1.

I czemu liczysz \(\displaystyle{ W(1)}\) skoro poerwiastkiem dzielnika jest \(\displaystyle{ -1}\)?
Frynio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 115
Rejestracja: 10 paź 2015, o 02:55
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 32 razy

Wyznacz resztę dzielenia wielomianu przez wielomian

Post autor: Frynio »

Już to zrobiłem, dzięki!

Literówka, oczywiście, że \(\displaystyle{ W(-1)}\)
ODPOWIEDZ