Wielomiany - podzielność

[whitemanxy]

Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez przez dwumian \(\displaystyle{ (x+2)}\) jest równa \(\displaystyle{ 4}\), reszta z dzielenia tego samego wielomianu przez dwumian \(\displaystyle{ (x-2)}\) to \(\displaystyle{ (-8)}\) a reszta z dzielenia tego wielomianu przez \(\displaystyle{ (x-1)}\) wynosi \(\displaystyle{ 6}\).

Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ (x+2)(x-2)(x-1)}\).

Zasadniczo to ja wiem jak to zadanie rozwiązać a mianowicie:

Zapisuję wiadomości podane w treści zadania otrzymując:

\(\displaystyle{ W(x)=(x+2)P(x) +4}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x-2)Q(x) -8}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x-1)H(x) +6}\)

Z tych informacji otrzymuję z kolei:

\(\displaystyle{ W(x)=(x+2)(x-2)(x-1)M(x) + R(x)}\)

I to czego nie mogę zrozumieć to dlaczego wielomian \(\displaystyle{ M(x)}\) jest liczbą stałą a nie wielomianem np siedemnastego stopnia. Mógłby mi to ktoś wyjaśnić ? : )

[piasek101]

A dlaczego uważasz , że jest stałą ?

[whitemanxy]

A dlaczego uważasz , że jest stałą ?

Dzisiaj mi ktoś tłumaczył że ten iloczyn może być co najwyżej trzeciego stopnia.

[piasek101]

To się mylił.

Nie znamy stopnia \(\displaystyle{ W(x)}\), zatem \(\displaystyle{ M(x)}\) jest w zasadzie dowolnego stopnia (zależny od stopnia \(\displaystyle{ W(x)}\)).

Więc jeśli \(\displaystyle{ W(x)}\) jest 20 stopnia to \(\displaystyle{ M(x)}\) jest siedemnastego.

[whitemanxy]

Ok rozumiem ale w takim razie skąd mam widzieć, że \(\displaystyle{ R(x)}\) jest stopnia co najwyżej drugiego ?

[AndrzejK]

Bo jakby był trzeciego albo większego to mógłbyś jeszcze dalej dzielić przez \(\displaystyle{ (x+2)(x-2)(x-1)}\)

[whitemanxy]

Bo jakby był trzeciego albo większego to mógłbyś jeszcze dalej dzielić przez \(\displaystyle{ (x+2)(x-2)(x-1)}\)

Aa już rozumiem . Dzięki!