reszta z dzielenia wielomianu. - zad 6

[mikolosek]

Wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ (x+1)(x-2)}\) daje resztę \(\displaystyle{ x+2}\), a przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ (x-1)(x+2)}\) daje resztę \(\displaystyle{ 2x+1}\). Obliczyć resztę przy dzieleniu wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ (x+1)(x+2).}\)

Kolejne zadanie, gdzie zatrzymuję się w prostym punkcie.

[Poszukujaca]

\(\displaystyle{ W(x)=Q_{1}(x) (x+1)(x+2) + (x+2)}\)
\(\displaystyle{ W(x)=Q_{2}(x) (x+1)(x-2) +(2x+1)}\)

Czy na pewno treść zadania jest poprawna?

[macik1423]

Coś jest pomylone

Wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ (x+1)(x+2)}\) daje resztę \(\displaystyle{ x+2}\)

Obliczyć resztę przy dzieleniu wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ (x+1)(x+2)}\).

[mikolosek]

Przepraszam poprawione.

[Premislav]

Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W}\) przez \(\displaystyle{ (x+1)(x+2)}\) jest stopnia co najwyzej jeden, więc możesz ją zapisać w postaci \(\displaystyle{ ax+b}\) dla pewnych stałych \(\displaystyle{ a,b}\). Wiesz, że \(\displaystyle{ W(-1)=-1+2}\) oraz \(\displaystyle{ W(-2)=-2\cdot 2+1}\). Nic więcej do rozwiązania nie potrzebujesz.

[Poszukujaca]

No więc według twierdzenia o dzieleniu z resztą dla wielomianów powinno być tak jak napisałam + mała poprawka ze względu na edycje treści.

Wiadomo, że reszta przy dzieleniu przez trójmian jest wielomianem co najwyżej stopnia pierwszego.

[mikolosek]

To wtedy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
-a+b=1\\2a+b=-3\end{cases}}\)

?

[Poszukujaca]

A jak do tego doszedłeś?

[mikolosek]

No jakoś tak robiłem wcześniejsze zadania i zgadzało się a teraz nie i nie wiem jak to zrobić ..

[Poszukujaca]

Przy podanej reszcie z dzilenia przez dwumian \(\displaystyle{ (x-k)}\)korzysta się z twierdzenia, że ta reszta jest równa \(\displaystyle{ W(k)}\).

Być może jest jakieś analogiczne twierdzenie dla dzielenia przez trójmian.

[mikolosek]

Mógłbym prosić kogoś o rozwiązanie? :C

[Poszukujaca]

Nie no. Sprawa jest łatwa.

Policz \(\displaystyle{ W(-2)}\) i \(\displaystyle{ W(-1)}\).-- 14 lis 2015, o 16:54 --Wyzerują się wielomiany \(\displaystyle{ Q_{1}(x)}\) i \(\displaystyle{ Q_{2}(x)}\) i dostaniemy podobny układ równań jaki napisałeś.

[mikolosek]

Szczerze mówiąc pogubiłem się już . xd

[Poszukujaca]

\(\displaystyle{ W(-2)= Q_{2} (-2) (-2-1)(-2+2) +(-4+1)=-3}\)
\(\displaystyle{ W(-1)= Q_{1} (-1) (-1+1)(-1-2) + (-1+2)= 1}\)

\(\displaystyle{ W(-2)= Q_{3} (-2+2) (-2+1) + (-2a+b)=-2a+ b=-3}\)

I jeszcze drugie równanie z -1.