Sposób na szybkie narysowanie wężyka

[charnas]

Witam. Mam pewien problem z rysowaniem wężyka.

Dokładnie to chodzi o określenie od której strony rysować wężyk (od góry czy od dołu). Dla przykładu \(\displaystyle{ 5x(x+3)(2-x)}\) to można wymnożyć wszystko i widzę czy liczba jest dodatnia czy ujemna przy najwyższej potędze. Ale co w przypadku gdy mam np. \(\displaystyle{ (x+2)(x-1)^2(x-3)^5}\) ? Jest na to jakis sposób aby określić bez wymnażania ?
Pozdrawiam !

[szw1710]

Zaczynamy rysowanie od prawej strony, czyli w przedziale za największym pierwiastkiem. Zaczynamy zgodnie ze znakiem współczynnika wiodącego (tego przy najwyższej potędze). Wymnażać do tego nie trzeba.

[Dilectus]

Dodam jeszcze do tego, co powiedział szw1710, że jeśli krotność danego pierwiastka jest nieparzysta, to wężyk przechodzi w tym miejscu przez oś \(\displaystyle{ OX}\), a jeśli krotność pierwiastka jest parzysta, to wężyk odbija się od osi.

Ale co w przypadku gdy mam np. \(\displaystyle{ (x+2)(x-1)^2(x-3)^5}\) ?

W myśl tego, co zostało powiedziane, zaczynasz od prawej strony od góry (bo współczynnik przy najwyższej potędze iksa jest dodatni). Wężyk przechodzi przez oś w punkcie \(\displaystyle{ 3}\) (bo krotność pierwiastka \(\displaystyle{ x=3}\) jest \(\displaystyle{ 5}\), czyli nieparzysta), gdzieś między jedynką i trójką jest minimum (mniejsze od zera) i wężyk zmierza do punktu \(\displaystyle{ x=1}\), po czym się odeń odbija, (bo krotność pierwiastka \(\displaystyle{ x=1}\) jest \(\displaystyle{ 2}\), czyli parzysta). Dalej gdzieś między \(\displaystyle{ -2}\) a \(\displaystyle{ 1}\) jest drugie minimum, po czym wężyk biegnie do \(\displaystyle{ -2}\) i w tym punkcie przecina oś \(\displaystyle{ OX}\) (bo krotność pierwiastka jest \(\displaystyle{ 1}\), czyli nieparzysta).
I tak oto narysowaliśmy wężyk. Jak łatwo widać, ten wielomian ma dwa minima i jedno maksimum.

[charnas]

Teraz już wszystko rozumiem Dzięki wielkie za pomoc !