Nierówność - pierwiastki niewymierne..

[Poszukujaca]

\(\displaystyle{ x^4+2x^{2}+26 > 2x^{3}+10x}\)

No więc mam taką nierówność rozwiązać.

\(\displaystyle{ x^{4}-2x^{3}+2x^{2} -10x+26 > 0}\)

Z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych dla wielomianu o współczynnikach całkowitych rozpatruje wszystkie potencjalne pierwiastki, ale okazuje się, ze nie ma takich. Jeśli nie istneiją niewymierne pierwiastki to wiem juz, że rnierownosc jest prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych. No właśnie, ale skad mam wiedzieć, ze te niewymierne nie istnieją?

[lukasz1804]

Podążając Twoim tokiem myślenia posłużyłbym się np. twierdzeniem Sturma. Jednak (na szczęście) nie jest to konieczne.

\(\displaystyle{ x^{4}-2x^{3}+2x^{2} -10x+26=(x^4-2x^3+x^2)+(x^2-10x+25)+1=[x(x-1)]^2+(x-5)^2+1}\)

[Dilectus]

Policz ekstrema i zobacz, jaki jest ich znak.

[a4karo]

Albo możesz napisać oryginalną nierównośc w postaci

\(\displaystyle{ \frac{(x+1)^2+5^2}{2}\geq x(x+5)}\) i mam nadzieję, że rozpoznajesz nierówność AG (dla \(\displaystyle{ x<0}\) nierównośc jest oczywista.

[Poszukujaca]

lukasz1804, hm.. Nie wiem do czego zmierzałeś z tym rozpisaniem. Czyżby wzór na kwadrat trzech liczb?
\(\displaystyle{ (x(x-1))^{2}+(x-5)^2+1=
(x(x-1)+(x-5)+1)^2-2x(x-1)(x-5)-2x(x-1)-2(x-5)}\)
chyba jednak nie..

Dilectus, wychodzi jedno ekstremum. Przyznam się, źe policzone przez wolfram alpha.
\(\displaystyle{ x=1.7468}\) Wartości funkcji w tym miejscu jest dodatnia. Jest to minimum, więc wniosek z tego taki, że wszystkie wartości funkcji wielomianowej są dodatnie. Czyli nasza początkowa nierówność jest prawdziwa.

a4karo, tak, widzę. Jest to nierownosć nazywana AGH. W ten sposób najprościej. Jednak nie jest tak łatwo zauważyć, że nierownosć wielomianowa sprowadza sie do tej właśnie nierówności.

[Dilectus]

Dilectus, wychodzi jedno ekstremum. Przyznam się, źe policzone przez wolfram alpha.
\(\displaystyle{ x=1.7468}\) Wartości funkcji w tym miejscu jest dodatnia. Jest to minimum, więc wniosek z tego taki, że wszystkie wartości funkcji wielomianowej są dodatnie. Czyli nasza początkowa nierówność jest prawdziwa.

Na wszelki wypadek policz jeszcze monotoniczność.

[a4karo]

Powiedzmy tak: wskazówka Dilectusa prowadzi na manowce (przed daniem takiej wskazówki jednak warto samemu cos porachować..)

A lukasz1804 przedstawił ci wyrazenie jako sumę trzech kwadratów, a zatem jako liczbe dodatnią.

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ x^{4}-2x^{3}+2x^{2} -10x+26 > 0\\
x^{4}-2x^{3}+2x^{2} -10x+26>0\\
x^4-2x^3+x^2+x^2-10x+25+1>0\\
\left( x^2-x\right)^2+\left( x-5\right)^2+1>0\\}\)

Można było też rozłożyć na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych

\(\displaystyle{ x^{4}-2x^{3}+2x^{2} -10x+26=0\\
x^4-2x^3+x^2+x^2-10x+26=0\\
\left( x^2-x\right)^2-\left( -x^2+10x-26\right)=0\\
\left( x^2-x+\frac{y}{2}\right)^2-\left(\left( y-1\right) x^2+\left( -y+10\right) x+\frac{y^2}{4}-26\right)=0\\
\left( y^2-104\right)\left( y-1\right)-\left( y-10\right)^2=0\\
y^3-y^2-104y+104-y^2+20y-100=0\\
y^3-2y^2-84y+4=0\\
y=u+v+\frac{2}{3}}\)

[a4karo]

Albo możesz napisać oryginalną nierównośc w postaci

\(\displaystyle{ \frac{(x+1)^2+5^2}{2}\geq x(x+5)}\) i mam nadzieję, że rozpoznajesz nierówność AG (dla \(\displaystyle{ x<0}\) nierównośc jest oczywista.

Chyba jakąś totalną bzdurę tu napisałem. Prawa strona przecież to \(\displaystyle{ 2x(x^2+5)}\) a nie \(\displaystyle{ 2x(x+5)}\), a nierówność , którą napisałem nijak nie przypomina nierówności AG. Przepraszam wszystkich czytelników.