Dla mnie odpowiedź jest natychmiastowa:fikcyjny pisze:Dla jakiej wartości parametru \(\displaystyle{ p}\) wielomian \(\displaystyle{ x^{3} + (p-2) x ^{2} + (5-2p) x - 10 =0}\) ma dokładnie 2 pierwiastki?
Takie p nie istnieje gdyż wielomian 3 stopnia może mieć tylko jeden lub trzy pierwiastki rzeczywiste.
Treść zadania powinna brzmieć:
Sądzę że autor spodziewał się grupowania:Dla jakiej wartości parametru \(\displaystyle{ p}\) wielomian \(\displaystyle{ x^{3} + (p-2) x ^{2} + (5-2p) x - 10 =0}\) ma dokładnie 2 rozwiazania?
\(\displaystyle{ p(x^2-2x)+x^3-2x^3+5x-10=0 \\
px(x-2)+x^2(x-2)+5(x-2)=0 \\
(x-2)(x^2+px+5)=0 \\ ... \\ p= \frac{-9}{2} \vee p= 2 \sqrt{5} \vee p= -2 \sqrt{5}}\)
Standardowym postepowaniem na poziomie I klasy liceum będzie porównanie wielomianów
\(\displaystyle{ x^{3} + (p-2) x ^{2} + (5-2p) x - 10 =(x-a)^2(x-b)}\)
co daje układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} p-2=-b-2a \\ 5-2p=a^2+2ab \\ -10=-a^2b \end{array}}\)
który redukuje się do równania:
\(\displaystyle{ \frac{1}{a} \left( a^4-4a^3-a^2+20a-20\right)=0 \\ \frac{1}{a} (a-2)(a-2)(a^2-5) =0 \\ a=2 \vee a= \sqrt{5} \vee a= -\sqrt{5}}\)
A to, dla parametru p daje szukaną odpowiedź:
\(\displaystyle{ p= \frac{-9}{2} \vee p= 2 \sqrt{5} \vee p= -2 \sqrt{5}}\)