wielomian z parametrem

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

wielomian z parametrem

Post autor: kerajs »

fikcyjny pisze:Dla jakiej wartości parametru \(\displaystyle{ p}\) wielomian \(\displaystyle{ x^{3} + (p-2) x ^{2} + (5-2p) x - 10 =0}\) ma dokładnie 2 pierwiastki?
Dla mnie odpowiedź jest natychmiastowa:
Takie p nie istnieje gdyż wielomian 3 stopnia może mieć tylko jeden lub trzy pierwiastki rzeczywiste.

Treść zadania powinna brzmieć:
Dla jakiej wartości parametru \(\displaystyle{ p}\) wielomian \(\displaystyle{ x^{3} + (p-2) x ^{2} + (5-2p) x - 10 =0}\) ma dokładnie 2 rozwiazania?
Sądzę że autor spodziewał się grupowania:
\(\displaystyle{ p(x^2-2x)+x^3-2x^3+5x-10=0 \\
px(x-2)+x^2(x-2)+5(x-2)=0 \\
(x-2)(x^2+px+5)=0 \\ ... \\ p= \frac{-9}{2} \vee p= 2 \sqrt{5} \vee p= -2 \sqrt{5}}\)


Standardowym postepowaniem na poziomie I klasy liceum będzie porównanie wielomianów
\(\displaystyle{ x^{3} + (p-2) x ^{2} + (5-2p) x - 10 =(x-a)^2(x-b)}\)
co daje układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} p-2=-b-2a \\ 5-2p=a^2+2ab \\ -10=-a^2b \end{array}}\)
który redukuje się do równania:
\(\displaystyle{ \frac{1}{a} \left( a^4-4a^3-a^2+20a-20\right)=0 \\ \frac{1}{a} (a-2)(a-2)(a^2-5) =0 \\ a=2 \vee a= \sqrt{5} \vee a= -\sqrt{5}}\)
A to, dla parametru p daje szukaną odpowiedź:
\(\displaystyle{ p= \frac{-9}{2} \vee p= 2 \sqrt{5} \vee p= -2 \sqrt{5}}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

wielomian z parametrem

Post autor: a4karo »

Dla mnie odpowiedź jest natychmiastowa:
Takie p nie istnieje gdyż wielomian 3 stopnia może mieć tylko jeden lub trzy pierwiastki rzeczywiste.
A jednak w szkole się mówi, że trójmian kwadratowy o zerowym wyznaczniku ma JEDEN pierwiastek (i po cichutku dodaje się słowo "podwójny")
fikcyjny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 30 wrz 2014, o 00:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy

wielomian z parametrem

Post autor: fikcyjny »

Dla mnie odpowiedź jest natychmiastowa:
Takie p nie istnieje gdyż wielomian 3 stopnia może mieć tylko jeden lub trzy pierwiastki rzeczywiste.
Czyli jeśli mamy pierwiastek podwójny to traktujemy to jako dwa różne pierwiastki ?
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

wielomian z parametrem

Post autor: Kartezjusz »

Dokładnie. Ogólnie trzy są, ale podwójność sprawia, że dwa z nuch się powtarzają, ale są różne od trzeciego
fikcyjny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 30 wrz 2014, o 00:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy

wielomian z parametrem

Post autor: fikcyjny »

Trochę to bez sensu. Mówiąc, że mamy jeden podwójny rozumiemy, że są dwa ale takie same są zaś one nierozróżnialne. Czy w takim razie jeśli sumujemy zbiory \(\displaystyle{ \left\{ 2 \right\} \cup \left\{ 2\right\}}\) nie powinniśmy powiedzieć że mamy zbiór dwuelementowy ?
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

wielomian z parametrem

Post autor: Kartezjusz »

Nie mamy trzy pierwiastki tworzące zbiór\(\displaystyle{ \{ a, a, b \} = \{ a, b \}}\)
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

wielomian z parametrem

Post autor: SlotaWoj »

Problem jest w redakcji tematu zadania. Moim zdaniem powinno być: „... ma trzy pierwiastki rzeczywiste, w tym jeden podwójny.” Wszak wielomian nieparzystego stopnia ma nieparzystą liczbę pierwiastków.
fikcyjny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 30 wrz 2014, o 00:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy

wielomian z parametrem

Post autor: fikcyjny »

Rozmowa schodzi bardziej na tematy związane z teorią zbiorów, ale zawsze mnie ciekawiło jakie są podstawy rozumowania w przypadku takiego sumowania. Czy jest to tylko umowa czy może wynika to z jakiegoś aksjomatu ?
\(\displaystyle{ \{ a, a, b \} = \{ a, b \}}\)
W powyższym zapisie widać, że po lewej mamy zbiór z trzema elementami a po prawej z dwoma. Nierozróżnialność dwóch elementów sprawia że możemy uznać te zbiory za równe. Idąc tropem naszych pierwiastków skoro mówimy, że mamy jeden ale podwójny i oznacza to że są to dwa pierwiastki, a nie jeden to w przypadku powyższych zbiorów równość nie powinna zachodzić ponieważ zbiory mają różną ilość elementów.
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

wielomian z parametrem

Post autor: SlotaWoj »

Jeżeli zbiory są równe, to są równej mocy.
  • \(\displaystyle{ \big|\{a;a;b\}\big|\neq\big|\{a;b\}\big|\ \Rightarrow\ \{a;a;b\}\neq\{a;b\}}\)
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

wielomian z parametrem

Post autor: Kartezjusz »

A nie przyjmujemy, że jak elementy są nierozróżnialne,to można traktować jako jeden i ten sam?
fikcyjny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 30 wrz 2014, o 00:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy

wielomian z parametrem

Post autor: fikcyjny »

No właśnie, ale jaka jest podstawa do takiego przyjmowania ?
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

wielomian z parametrem

Post autor: Kartezjusz »

Aksjomat ekstensywności zbiorów. Zawieranie w obie strony daje równość. Pamiętamy jak zawieranie zapisać rachunkiem zdań?
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

wielomian z parametrem

Post autor: SlotaWoj »

@Kartezjusz
Mamy zbiór: \(\displaystyle{ \left\{\mbox{jabłko; jabłko; gruszka}\right\}}\). Z ilu składa się owoców?
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

wielomian z parametrem

Post autor: Kartezjusz »

Jeśli jabłka są te same(łącznie z lokalizacją) to z dwóch. Jeśli różne to z trzech. Tu mamy problem z "różne" w zadaniu. liczby występują pojedyńczo na osi liczbowej.
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

wielomian z parametrem

Post autor: SlotaWoj »

Aksjomat ekstensjonalności: Dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same elementy.
Czy takie same oznacza te same?
Z praktycznych względów należy dopuścić, że w zbiorze mogą być takie same, tj. nierozróżnialne elementy. Np. rzucono trzy razy kością i wyrzucono \(\displaystyle{ \big\{2;4;2\big\}}\).
Oczywiście \(\displaystyle{ \big\{2;4;2\big\}=\big\{2;2;4\big\}=\big\{4;2;2\big\}\neq\big\{2;4\big\}}\).
ODPOWIEDZ