wielomian z parametrem

[fikcyjny]

Dla jakiej wartości parametru \(\displaystyle{ p}\) wielomian \(\displaystyle{ x^{3} + (p-2) x ^{2} + (5-2p) x - 10 =0}\) ma dokładnie 2 pierwiastki?

Można wyłączyć \(\displaystyle{ x}\) wtedy mamy:
\(\displaystyle{ x (x ^{2} + (p-2) x + (5-2p)) - 10 = 0}\) tylko co dalej ?

[Zahion]

Oblicz wartość tego wielomianu dla \(\displaystyle{ x = 2}\).

[Dilectus]

Wyobraź sobie wykres wielomianu trzeciego stopnia ze współczynnikiem przy trzeciej potędze iksa większym od zera. Jak łatwo zauważyć, taki wielomian będzie miał dokładnie dwa pierwiastki \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) gdy będzie miał minimum lub maksimum równe zeru. Znajdź więc ekstrema i zażądaj, żeby jedno z nich było równe zeru.

[fikcyjny]

Dodam tylko, że jest to zadanie z 1 klasy liceum zatem, ekstrema, pochodne itp nie wchodzą w grę.

Oblicz wartość tego wielomianu dla \(\displaystyle{ x = 2}\).

Dlaczego akurat dla 2 ?

[Zahion]

Ile wyszła Ci owa wartość dla argumentu równego \(\displaystyle{ 2}\) ?

[SlotaWoj]

Zahion jest spostrzegawczy i obyty matematycznie.
Dodatkowo wie, że jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastki wymierne, to są one postaci: \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest podzielnikiem wyrazu wolnego, a \(\displaystyle{ q}\) jest podzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze. Więc warto najpierw poszukać pierwiastków w zborze: \(\displaystyle{ \left\{-10;-5;-2;2;3;5;10\right\}}\).

[Zahion]

SlotaWoj, zrobiłem troszkę szybciej, mianowicie rozwiązałem równanie \(\displaystyle{ x^{2}p = 2px}\). Otóz oczywiście \(\displaystyle{ p}\) musi się zredukować, dalsze szukanie nie ma sensu, jeżeli będzie zmienna dla pewnego argumentu. Oczywiście \(\displaystyle{ p, x \neq 0}\).

[a4karo]

Zahion jest spostrzegawczy i obyty matematycznie.
Dodatkowo wie, że jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastki wymierne, to są one postaci: \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest podzielnikiem wyrazu wolnego, a \(\displaystyle{ q}\) jest podzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze. Więc warto najpierw poszukać pierwiastków w zborze: \(\displaystyle{ \left\{-10;-5;-2;2;3;5;10\right\}}\).

A poza tym nikt nie powiedział, że parametr jest całkowity, więc to twierdzenie nie ma tu zastosowania-- 28 paź 2015, o 15:07 --

SlotaWoj, zrobiłem troszkę szybciej, mianowicie rozwiązałem równanie \(\displaystyle{ x^{2}p = 2px}\). Otóz oczywiście \(\displaystyle{ p}\) musi się zredukować, dalsze szukanie nie ma sensu, jeżeli będzie zmienna dla pewnego argumentu. Oczywiście \(\displaystyle{ p, x \neq 0}\).

Szczerze mówiąc nie widzę jakie przesłanki stoją za tym rozumowaniem.

[SlotaWoj]

Oczekiwałem, że wyjdzie całkowite \(\displaystyle{ p}\), a tu niespodzianka.
A4karo ma rację – nie można zakładać „na wyrost”.

[Zahion]

SlotaWoj, zrobiłem troszkę szybciej, mianowicie rozwiązałem równanie \(\displaystyle{ x^{2}p = 2px}\). Otóz oczywiście \(\displaystyle{ p}\) musi się zredukować, dalsze szukanie nie ma sensu, jeżeli będzie zmienna dla pewnego argumentu. Oczywiście\(\displaystyle{ p, x \neq 0.}\)

Szczerze mówiąc nie widzę jakie przesłanki stoją za tym rozumowaniem.

Jeżeli uczeń jest w pierwszej klasie liceum, nie miał pochodnych, to mówi nam, że wielomian trzeciego stopnia powinniśmy móc rozłożyć na iloczyn czynników, żeby rozwiązać to zadanie.
Jeżeli chcemy rozłożyć ten wielomian na iloczyn czynników to szukamy takiego argumentu, dla którego wartość wielomianu się zeruje. W szczególności musi być \(\displaystyle{ x^{2}p - 2px = 0}\), w przeciwnym wypadku jakąkolwiek wartość nie podstawimy pod \(\displaystyle{ x}\) otrzymamy wartość zależną od \(\displaystyle{ p}\), która w szczególności może się zerować dla pewnego \(\displaystyle{ p}\), a my chcemy, żeby nasz wielomian zerował się dla każdego \(\displaystyle{ p}\) określonego przez warunki zadania.

[a4karo]

To wyobraźmy sobie, że wyraz wolny jest 11, a nie 10. Co wtedy da ta metoda?

[Zahion]

Inny sens miał mój post. To jest tzw. prakseologizm.
Identyczny powód dla którego w równaniach licealnych jest \(\displaystyle{ x^{3} + x - 2 = 0}\), a nie \(\displaystyle{ x^{3} + x - 1 = 0}\), co da nam metoda szukania wymiernych pierwiastków, Bezout etc. ?

[Premislav]

Ja myślę, że najlepiej jest stosować wszędzie najbardziej uniwersalne metody, jakie tylko można, więc nawalajmy wzorami Cardana i będzie niezła kaszana.

Trochę nie rozumiem zarzutu dotyczącego małej ogólności tego sposobu postępowania (tego, tj. zaproponowanego przez Zahiona).

[fikcyjny]

Nie dopisałem tego w poleceniu, ale chodziło właśnie żeby rozłożyć to na czynniki. Bardziej chodziło mi o podejście dydaktyczne do tego zadania. Czyli przedstawienie rozwiązania w przejrzysty sposób, oczywiście można od razu strzelać z armaty do wróbla, ale nie o to chodzi w nauce matematyki.
Zahion twój kolejny post już wniósł pewne rozumowanie, które ułatwiło mi rozwiązanie i przedstawienie problemu.

[SlotaWoj]

@Fikcyjny
Jeśli potrafisz podzielić wielomian \(\displaystyle{ x^3+(p-2)x^2+(5-2p)x-10}\) przez dwumian \(\displaystyle{ x-2}\), to z dalszym rozwiązywaniem zadania nie powinieneś mieć problemu.