Zbieżność wielomianu do cosinusa

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
jarek4700
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 939
Rejestracja: 26 gru 2009, o 17:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mazowsze
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 228 razy

Zbieżność wielomianu do cosinusa

Post autor: jarek4700 »

Wymyśliłem sobie takie zadanie. Dany jest ciąg zbiorów punktów w układzie współrzędnych zdefiniowany następująco:

\(\displaystyle{ A_{0} = \left\{(0,1)\right\}}\)

\(\displaystyle{ A_{1} = \left\{(-1,-1),(0,1),(1,-1)\right\}}\)

\(\displaystyle{ A_{2} = \left\{(-2,1),(-1,-1),(0,1),(1,-1),(2,1)\right\}}\)

\(\displaystyle{ .\newline.\newline.\newline.}\)

\(\displaystyle{ A_{k} = A_{k-1} \vee \left\{\left(-k,(-1)^{k}\right),\left(k,(-1)^{k}\right)\right\}}\)

Niech ponadto \(\displaystyle{ W_{k}(x)}\) będzie wielomianem stopnia \(\displaystyle{ 2k}\), którego wykres przechodzi przez wszystkie punkty ze zbioru \(\displaystyle{ A_{k}}\). Czy wówczas granica:

\(\displaystyle{ \lim_{k \to \infty} \int_{-1}^{1}\left|W_{k}(x)-\cos(\pi x)\right|\mathrm{d}x}\)

jest równa zero?
Awatar użytkownika
Medea 2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2491
Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
Płeć: Kobieta
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 479 razy

Zbieżność wielomianu do cosinusa

Post autor: Medea 2 »

Trudno powiedzieć. Oznaczę całkę, z którą chcesz przejść do granicy, przez \(\displaystyle{ I_k}\). I tak kilka początkowych wartości to

\(\displaystyle{ \left\{\frac{2}{3},\frac{22}{45},\frac{382}{945},\frac{4994}{14175},\frac{29594}{93555},\frac{184854314}{638512875}\right\}}\),

co nie układas się w żaden oczywisty wzór. Dla mianowników znalazłam funkcję tworzącą:

\(\displaystyle{ \left[\sum_{n = 1}^\infty \frac{x^{n-1}}{(2n-1)!!}\right]^{-1}}\),

z licznikami tak łatwo jednak nie jest. Niech \(\displaystyle{ a_1 = 1}\), zaś

\(\displaystyle{ a_n = \sum_{k=1}^{2n} \left({2n+k-1 \choose 2n-1} \sum_{j = 1}^k \left[{k \choose j} \sum_{i = 0}^{j/2} \left\{(2i-j)^{2n+j} \cdot {j \choose i} \cdot (-1)^{-i}\right\}\right] \right)}\).

Twoje liczniki to \(\displaystyle{ \pm a_n}\). Powodzenia w ich badaniu!
jarek4700
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 939
Rejestracja: 26 gru 2009, o 17:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mazowsze
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 228 razy

Zbieżność wielomianu do cosinusa

Post autor: jarek4700 »

Fajne wzory

A jakiej postaci jest ta funkcja tworząca, bo napewno nie \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}b_{n}x^{n}}\) ??
ODPOWIEDZ