Równanie z parametrem

pasta36 · Post autor: **pasta36** » 24 wrz 2015, o 19:49

Cześć,
dla jakich wartości \(\displaystyle{ m}\) liczba \(\displaystyle{ 1}\) zawarta jest między rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ x ^{2} -(m ^{2}-1)x+m ^{3} -20=0}\)
Próbowałam z deltą, ale równanie \(\displaystyle{ f(m)}\) jest wielomianem, który nie ma żadnych pierwiastków?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 24 wrz 2015, o 20:36

A czy \(\displaystyle{ f(m)>0}\) ma rozwiązania ?

kropka+ · Post autor: **kropka+** » 24 wrz 2015, o 20:41

Parabola ma ramiona do góry, więc musi zachodzić \(\displaystyle{ f(1)<0}\)

janusz47 · Post autor: **janusz47** » 24 wrz 2015, o 20:42

Warunek 1

\(\displaystyle{ \Delta >0,}\)

Warunek II
\(\displaystyle{ x_{1}< 1 < x_{2},}\)

\(\displaystyle{ \left \{\begin{array}{cc} x_{1}<1, \\
x_{2}>1 \end{array} \right.}\)

\(\displaystyle{ x_{1}-1 <0,}\)
\(\displaystyle{ x_{2}-1 >0,}\)

\(\displaystyle{ (x_{1}-1)(x_{2}-1)<0,}\)

\(\displaystyle{ x_{1}x_{2}- (x_{1}+x_{2}) +1<0}\)

Wzory Viet'a.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 24 wrz 2015, o 20:44

kropka+ pisze:Parabola ma ramiona do góry, więc musi zachodzić \(\displaystyle{ f(1)<0}\)

janusz47 pisze:Warunek 1

\(\displaystyle{ \Delta >0,}\)

Warunek II
\(\displaystyle{ x_{1}< 1 < x_{2},}\)

\(\displaystyle{ x_{1}<1,}\)

\(\displaystyle{ x_{2}>1,}\)

\(\displaystyle{ x_{1}-1 <0,}\)
\(\displaystyle{ x_{2}-1 >0,}\)

\(\displaystyle{ (x_{1}-1)(x_{2}-1)<0,}\)

\(\displaystyle{ x_{1}x_{2}- (x_{1}+x_{2}) +1<0}\)

Wzory Viet'a.

Zdecydowanie polecam to pierwsze.

janusz47 · Post autor: **janusz47** » 24 wrz 2015, o 20:49

Zdecydowanie polecam to drugie.

kropka+ · Post autor: **kropka+** » 24 wrz 2015, o 21:15

janusz47 pisze:Zdecydowanie polecam to drugie.

To rozwiąż warunek \(\displaystyle{ \Delta>0}\) i pokaż nam obliczenia

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 26 wrz 2015, o 23:57

Można tę nierówność rozwiązać używając wiadomości które ma do dyspozycji licealista
pod warunkiem że nie wyrzucili trygonometrii i wiadomości o funkcji (w tym o funkcji odwrotnej)
Jak ja chodziłem to wszystko potrzebne było w liceum
(podstawy trygonometrii to miałem jeszcze w podstawówce , wtedy była ośmioletnia)

Propozycja użytkownika kropka+, wymaga mniej liczenia

W tej drugiej propozycji mamy nierówność czwartego oraz trzeciego stopnia do rozwiązania

Przykłady pokazujące jak rozłożyć wielomian czwartego stopnia

227371.htm
243327.htm#p911149

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 27 wrz 2015, o 09:29

Czy można zapisać \(\displaystyle{ \Delta = m^4 - 4m^3 - 2m^2 + 81}\) jako sumę kwadratów?

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 27 wrz 2015, o 09:55

Medea 2, może coś takiego

\(\displaystyle{ \left( m^2-2m-5\right)^2+\left( 2m-5\right)^2+31}\)

W postaci sumy trzech składników udało mi się względnie łatwo zapisać

Zostaje jeszcze nierówność trzeciego stopnia

\(\displaystyle{ x ^{2} -(m ^{2}-1)x+m ^{3} -20=0\\
x_{1}x_{2}- (x_{1}+x_{2}) +1<0\\

m^3-20-\left( m^2-1\right)+1<0\\
m^3-m^2-18<0\\
27-9-18=0\\
m^3-27-m^2+9<0\\
\left( m-3\right)\left( m^2+3m+9\right)-\left( m-3\right)\left( m+3\right)<0 \\
\left( m-3\right)\left( m^2+2m+6\right)< 0}\)