Wielomian z liczbą niecałkowitą i stopień

[Ares97]

Wykaż, że jeśli wielomian \(\displaystyle{ W(x) = ax ^{3} + bx ^{2} + cx + d,}\) gdzie \(\displaystyle{ a \neq 0}\), dla liczby \(\displaystyle{ 5}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 317}\), zaś dla liczby \(\displaystyle{ 1}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 12}\), to co najmniej jeden z jego współczynników nie jest liczbą całkowitą

Doszedłem do momentu gdzie mam:
\(\displaystyle{ 305=4(31a+6b+c)}\)

Udowodnieniem będzie, jesli podziele przez \(\displaystyle{ 4}\) i po lewej stronie będzie liczba niecałkowita?

Oraz mam pytanie do innego zadania gdzie mam okreslic stopien wielomianu ze wzgledu na parametr \(\displaystyle{ m}\) a mianowicie dlaczego \(\displaystyle{ W(x)=m ^{2}+4m-21)x ^{4}}\) jest 4. a \(\displaystyle{ W(x)=(m+7)x ^{2}}\) jest stopnia \(\displaystyle{ 3}\). ?

[SlotaWoj]

Nie ma czegoś takiego jak: stopień wielomianu ze względu na parametr \(\displaystyle{ m}\).
Parametr nie jest zmienną, więc wielomian (tu jednomian): \(\displaystyle{ W(x)=(m+7)\cdot x^2}\) jest 2-go stopnia, tak jak wielomian: \(\displaystyle{ W(x)=(m^2+4m-21)\cdot x^4}\) jest 4-go stopnia.

[Dilectus]

Doszedłem do momentu gdzie mam:
\(\displaystyle{ 305=4(31a+6b+c)}\)

Zrobiłeś dobrze. Popatrzmy:

Mamy układ dwóch równań z czterema niewiadomymi
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(5)= 125a+25b+5c+d=317 \\ W(1)=a+b+c+d=12 \end{cases}}\)

Odejmijmy je stronami:

\(\displaystyle{ 124a+24b+4c=305}\)

i podzielmy przez 4

\(\displaystyle{ 31a+6b+c= \frac{305}{4}}\)

Jeśli suma trzech liczb jest ułamkiem nieskracalnym, to co najmniej jedna z nich musi być ułamkiem nieskracalnym, a więc liczbą niecałkowitą.

[Ares97]

Dzięki za pomoc

[Kartezjusz]

Uwaga w obu przykładach jeszcze może być stopień \(\displaystyle{ 0}\) nie tylko \(\displaystyle{ 4,2}\)!!! Wielomiany mogą się dla pewnych \(\displaystyle{ m}\)wyzerować.