Witam!
W jaki sposób mam się zabrać do wyznaczenia x z równania o wzorze ogólnym:
\(\displaystyle{ ax^4 + bx^3 + cx + d = 0}\)
Obecność wyrazu wolnego przeszkadza w rozbijaniu na czynniki.
Rysowanie wykresu też raczej odpada, rzadko kiedy te współczynniki są odpowiednie do tego.
Równanie wielomianowe czwartego stopnia
-
Kalkulatorek
- Użytkownik
- Posty: 127
- Rejestracja: 3 cze 2014, o 21:01
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 52 razy
-
Igor V
- Użytkownik
- Posty: 1605
- Rejestracja: 16 lut 2011, o 16:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 604 razy
Równanie wielomianowe czwartego stopnia
W najogólniejszym przypadku istnieją gotowe algorytmy (jak dla równania drugiego stopnia metoda z deltą, wynikające ze sprytnych podstawień i przekształceń) m.in: metoda Ferrariego. Tak samo jest w ogólności dla równania trzeciego stopnia i istnieje dla niej np: metoda Cardano.Jednak te wzory to prawdziwy koszmar jak chyba ze dwa razy w życiu coś z nich policzyłem.Dla wielomianów stopnia większego niż cztery nie istnieją ogólne wzory zawierające tylko cztery podstawowe działania i pierwiastkowanie, które w skończonej ilości kroków dawałby pierwiastki.Sądząc po wieku jesteś pewnie w liceum, a tam nie ma takich przypadków żebyś z w.w twierdzeń musiał korzystać.
-
TPD
- Użytkownik
- Posty: 131
- Rejestracja: 4 wrz 2015, o 18:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 11 razy
Równanie wielomianowe czwartego stopnia
Jeżeli chodzi o przykłady licealne, to często możesz też po prostu zgadnąć, gdyż zazwyczaj jeden z pierwiastków jest zawarty w przedziale mniej więcej \(\displaystyle{ \left[ -3,3\right]}\). Oczywiście nie jest to najbardziej matematycznie wygórowana metoda, niemniej w liceum się sprawdza bardzo często. A wtedy masz wielomiany coraz mniejszego stopnia aż uzyskujesz po prostu równanie kwadratowe.
-
Dilectus
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Równanie wielomianowe czwartego stopnia
Można też skorzystać z wzorów Viete'a dla wielomianu czwartego stopnia, ale nie polecam. W szkolnych przykładach można zazwyczaj zgadnąć jeden pierwiastek \(\displaystyle{ x_i}\) i podzielić ten wielomian przez różnicę \(\displaystyle{ x-x_i}\) itd. 
-
Emce1
- Użytkownik
- Posty: 129
- Rejestracja: 20 lis 2010, o 19:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: krk
- Pomógł: 8 razy
Równanie wielomianowe czwartego stopnia
W liceum spotkasz się z czterema rodzajami wielomianów większych niż stopień drugi. Pierwszy to takie, w których występują wyrazy podobne i dają się rozłożyć, np.
(1)\(\displaystyle{ x^{6}+5x^{5}-2x^{4}-10x^{3}+x^{2}+5x = x(x+5)(x^{4}-2x^{2}+1) = x(x+5)(x^{2}-1)^{2} = x(x+5)(x-1)^{2}(x+1)^{2}}\)
Drugi typ jest w zasadzie rodzajem pierwszego, w którym czynniki podobne nie są "jawne" i trzeba trochę pokombinować, żeby je znaleźć, np:
(2a)\(\displaystyle{ x^{3}+2x^{2}-2x-1 = x^{3}+3x^{2}+x - x^{2}-3x-1 = (x^{2}+3x+1)(x-1)}\), albo inaczej:
\(\displaystyle{ x^{3}+2x^{2}-2x-1 = x^{3}-1+2x^{2}-2x = (x-1)(x^{2}+x+1)+2x(x-1)=(x-1)(x^{2}+3x+1)}\)
(2b)\(\displaystyle{ x^{4} +5 = x^{4} + 2x^{2} \sqrt{5} - 2x^{2} \sqrt{5} + 5 =
(x^{2}+ \sqrt{5})^{2} - (x \sqrt{2} \sqrt[4]{5} )^{2} =
(x^{2}+ \sqrt{5}-x \sqrt{2} \sqrt[4]{5})(x^{2}+ \sqrt{5}+x \sqrt{2} \sqrt[4]{5})}\)
Trzeci typ to taki, który ma pierwiastek wymierny, a najczęściej całkowity. Wtedy warto pamiętać o tym, że jeżeli wielomian \(\displaystyle{ W(x)= a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}}\) ma taki pierwiastek postaci \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\), to wyraz wolny, czyli \(\displaystyle{ a_{0}}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ p}\), a wyraz przy najw. potędze, czyli \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ q}\). Stąd najczęściej widać, że jeżeli przy najw. potędze mamy 1 albo -1 to jeżeli wielomian ma pierwiastek wymierny, to jest on całkowity. Jak już wiemy, że jakaś liczba jest pierwiastkiem, wystarczy podzielić przez dwumian.
(3)\(\displaystyle{ x^{3}-4x^{2}+x+6 = (x-3)(x^{2}-x-2)}\) tutaj wyrazem wolnym było 6, więc jeżeli wielomian miał jakiś pierw. wymierny ( a nie musi, może mieć wyłączeni pierw. niewymierne), to będzie on dzielnikiem 6, zatem możliwe są 1,2,3 lub 6 z dokładnością co do znaku (-1 też może być itd.) sprawdzając widzimy, że 3 jest pierwiastkiem i jesteśmy w domu.
Ostatnim typem wielomianu jest błąd nauczyciela/podręcznika, wielomian, którego licealista nie jest w stanie rozwiązać. Warto zauważyć, że wielomian może należeć do różnych typów, np. wielomian typu 2a jest jednocześnie typem 3, od Ciebie zależy metoda rozwiązania.
(1)\(\displaystyle{ x^{6}+5x^{5}-2x^{4}-10x^{3}+x^{2}+5x = x(x+5)(x^{4}-2x^{2}+1) = x(x+5)(x^{2}-1)^{2} = x(x+5)(x-1)^{2}(x+1)^{2}}\)
Drugi typ jest w zasadzie rodzajem pierwszego, w którym czynniki podobne nie są "jawne" i trzeba trochę pokombinować, żeby je znaleźć, np:
(2a)\(\displaystyle{ x^{3}+2x^{2}-2x-1 = x^{3}+3x^{2}+x - x^{2}-3x-1 = (x^{2}+3x+1)(x-1)}\), albo inaczej:
\(\displaystyle{ x^{3}+2x^{2}-2x-1 = x^{3}-1+2x^{2}-2x = (x-1)(x^{2}+x+1)+2x(x-1)=(x-1)(x^{2}+3x+1)}\)
(2b)\(\displaystyle{ x^{4} +5 = x^{4} + 2x^{2} \sqrt{5} - 2x^{2} \sqrt{5} + 5 =
(x^{2}+ \sqrt{5})^{2} - (x \sqrt{2} \sqrt[4]{5} )^{2} =
(x^{2}+ \sqrt{5}-x \sqrt{2} \sqrt[4]{5})(x^{2}+ \sqrt{5}+x \sqrt{2} \sqrt[4]{5})}\)
Trzeci typ to taki, który ma pierwiastek wymierny, a najczęściej całkowity. Wtedy warto pamiętać o tym, że jeżeli wielomian \(\displaystyle{ W(x)= a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}}\) ma taki pierwiastek postaci \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\), to wyraz wolny, czyli \(\displaystyle{ a_{0}}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ p}\), a wyraz przy najw. potędze, czyli \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ q}\). Stąd najczęściej widać, że jeżeli przy najw. potędze mamy 1 albo -1 to jeżeli wielomian ma pierwiastek wymierny, to jest on całkowity. Jak już wiemy, że jakaś liczba jest pierwiastkiem, wystarczy podzielić przez dwumian.
(3)\(\displaystyle{ x^{3}-4x^{2}+x+6 = (x-3)(x^{2}-x-2)}\) tutaj wyrazem wolnym było 6, więc jeżeli wielomian miał jakiś pierw. wymierny ( a nie musi, może mieć wyłączeni pierw. niewymierne), to będzie on dzielnikiem 6, zatem możliwe są 1,2,3 lub 6 z dokładnością co do znaku (-1 też może być itd.) sprawdzając widzimy, że 3 jest pierwiastkiem i jesteśmy w domu.
Ostatnim typem wielomianu jest błąd nauczyciela/podręcznika, wielomian, którego licealista nie jest w stanie rozwiązać. Warto zauważyć, że wielomian może należeć do różnych typów, np. wielomian typu 2a jest jednocześnie typem 3, od Ciebie zależy metoda rozwiązania.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Równanie wielomianowe czwartego stopnia
Możesz napisać sobie taki rozkład na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych
\(\displaystyle{ ax^4 + bx^3 + cx + d = a\left( x^2+px+q\right)\left( x^2+rx+s\right)}\)
albo przedstawić ten wielomian w postaci różnicy kwadratów
Jakiejkolwiek metody nie wymyślisz nie uda ci się ominąć równania trzeciego stopnia
więc może zacznij od niego
Trygonometria jest jeszcze w liceum ?
Przydałyby się też wiadomości o funkcji ponieważ po drodze
będziesz musiał sobie zdefiniować funkcję odwrotną do cosinusa bądź sinusa
Jeśli tak to można ominąć liczby zespolone i przygotować metodę zrozumiałą dla licealisty
\(\displaystyle{ ax^4 + bx^3 + cx + d = a\left( x^2+px+q\right)\left( x^2+rx+s\right)}\)
albo przedstawić ten wielomian w postaci różnicy kwadratów
Jakiejkolwiek metody nie wymyślisz nie uda ci się ominąć równania trzeciego stopnia
więc może zacznij od niego
Trygonometria jest jeszcze w liceum ?
Przydałyby się też wiadomości o funkcji ponieważ po drodze
będziesz musiał sobie zdefiniować funkcję odwrotną do cosinusa bądź sinusa
Jeśli tak to można ominąć liczby zespolone i przygotować metodę zrozumiałą dla licealisty