własność wielomianu 4 stopnia o dodatnich pierwiastkach

[wielkireturner]

Niech \(\displaystyle{ P(x)}\) będzie wielomianem stopnia \(\displaystyle{ 4}\), którego wszystkie pierwiastki są dodatnie. Z czego wynika wówczas, że wielomian \(\displaystyle{ Q(x) = P(x) - P'(x)}\) ma wszystkie pierwiastki dodatnie?

[jarek4700]

Chyba czegoś zapomniałeś dopisać. Pewnie mają być cztery dodatnie pierwiastki. Bo tak to np.
\(\displaystyle{ P(x) = 19x^4+36x^3-127x^2-156x+228}\) nie spełnia tej zależności.
Możesz to sprawdzić na Wolframie.

[wielkireturner]

Chyba czegoś zapomniałeś dopisać. Pewnie mają być cztery dodatnie pierwiastki. Bo tak to np.
\(\displaystyle{ P(x) = 19x^4+36x^3-127x^2-156x+228}\) nie spełnia tej zależności.
Możesz to sprawdzić na Wolframie.

Tak, dla czterech pierwiastków.
Czy można by to uzasadnić bez użycia wolframu?

[bosa_Nike]

Umiesz uzasadnić, że dodatniość wszystkich elementarnych wielomianów symetrycznych pociąga za sobą dodatniość wszystkich zmiennych?

[wielkireturner]

Umiesz uzasadnić, że dodatniość wszystkich elementarnych wielomianów symetrycznych pociąga za sobą dodatniość wszystkich zmiennych?

Chyba mnie to przerasta. Możesz wytłumaczyć?

[bosa_Nike]

Hmm, tak sobie teraz myślę, że to fajny sposób, ale tylko wtedy, gdy się umie równie elegancko wykazać, że wszystkie pierwiastki \(\displaystyle{ Q(x)}\) są rzeczywiste... A to mi na razie umyka.

Można przeprowadzić inne rozumowanie.
Niech \(\displaystyle{ x_1>0}\) będzie najmniejszym pierwiastkiem \(\displaystyle{ P(x)}\). Jeżeli w otoczeniu \(\displaystyle{ x_1}\) wielomian jest malejący, to znaczy że dla dowolnego \(\displaystyle{ x_0<x_1}\) mamy \(\displaystyle{ P(x_0)>0}\) oraz \(\displaystyle{ P'(x_0)<0}\), a więc \(\displaystyle{ Q(x_0)=P(x_0)-P'(x_0)>0}\). Analogicznie wnioskujemy, gdy w otoczeniu \(\displaystyle{ x_1}\) wielomian jest rosnący.
Pierwiastki pochodnej leżą pomiędzy pierwiastkami \(\displaystyle{ P(x)}\) (bo tam leżą ekstrema). Weźmy najmniejszy pierwiastek \(\displaystyle{ Q(x)}\) - z twierdzenia Darboux wynika, że leży on pomiędzy \(\displaystyle{ x_1}\), a najbliższym pierwiastkiem pochodnej (\(\displaystyle{ x_{11}}\)). Rzeczywiście, w sytuacji gdy \(\displaystyle{ P(x)}\) jest malejący, mamy w minimum \(\displaystyle{ P'(x_{11})=0}\), a więc \(\displaystyle{ Q(x_1)=P(x_1)-P'(x_1)=-P'(x_1)>0}\) oraz \(\displaystyle{ Q(x_{11})=P(x_{11})-P'(x_{11})=P(x_{11})<0}\), tzn. istnieje \(\displaystyle{ x_{21}\in(x_1,x_{11})}\), takie że \(\displaystyle{ Q(x_{21})=0}\).

Uwaga: Można się uprzeć i dowieść więcej, tzn. że \(\displaystyle{ Q(x)}\) ma cztery dodatnie pierwiastki. Istnienie dwóch następnych pokazujemy analogicznie do pierwszego, a czwarty jest konsekwencją istnienia trzech pozostałych.