równość z 6 wielomianami

[wielkireturner]

Wielomiany \(\displaystyle{ P(x),Q(x),R(x),S(x)=s_{0}+s_{1}x+s_{2}x^{2}+...+s_{n}x^{n}}\) spełniają warunek: \(\displaystyle{ (x-1) \left( P(x^{5})+xQ(x^{5})+x^{2} R(x^{5}) \right) =(x^{5}-1) \cdot S(x)}\).

Można to przekształcić na postać: \(\displaystyle{ P(x^{5})+(x^{5}-1)S_{1}(x)=-(x^{5}-1)S_{2}(x)+xP(x^{5})+(x^{2}-x)Q(x^{5})+(x^{3}-x^{2})R(x^{5})}\), gdzie \(\displaystyle{ S_{1}(x)=s_{0}+s_{5}x^{5}+s_{10}x^{10}+...+s_{5m}x^{5m}, S_{2}(x)=S(x)-S_{1}(x)}\), zaś \(\displaystyle{ m = \left[ \frac{n}{5} \right]}\).

Jak z tego wynika, że lewa strona i prawa strona są równe \(\displaystyle{ 0}\) w przekształconej równości?

[Pinionrzek]

Zauważ, że lewa strona jest wielomianem, który ma współczynniki niezerowe tylko przy potęgach podzielnych przez \(\displaystyle{ 5}\). Prawa z kolei przy takich potęgach ma współczynniki zerowe, skąd wynika, że obie te strony muszą się zerować.