Reszta z dzielenia.

[NogaWeza]

\(\displaystyle{ P(x) = x^{2002} + x^{2001} + 2000}\) oraz \(\displaystyle{ Q(x) = x^4 - 2x^2 + 1}\)

Zapisuję zatem:

\(\displaystyle{ x^{2002} + x^{2001} + 2000 = (x+1)^2 (x-1)^2 S(x) + R(x)}\)

Reszta będzie stopnia co najwyżej trzeciego.

\(\displaystyle{ x^{2002} + x^{2001} + 2000 = (x+1)^2 (x-1)^2 S(x) + Ax^3 + Bx^2 + Cx + D}\)

No i teraz po wstawieniu kolejno wartości \(\displaystyle{ x=1}\) i \(\displaystyle{ x=-1}\) dostaję układ dwóch równań, a niewiadomych jest cztery. Jak sobie z zaistniałą sytuacją poradzić?

[a4karo]

Pochodną policz

[NogaWeza]

\(\displaystyle{ 2002x^{2001} + 2001x^{2000} = (4x^3 - 4x)S(x) + (x^4 - 2x^2 +1)S'(x) + 3Ax^2 + 2Bx +C}\)
Wygląda na to, że teraz po wstawieniu \(\displaystyle{ x=1}\) i \(\displaystyle{ x=-1}\) otrzymam dwa brakujące równania, dziękuję.
Rozumiem, że gdyby miejsca zerowe funkcji były różne od miejsc zerowych pochodnej byłbym skazany na klęskę?

[a4karo]

Nie, bo wtedy wielomian miałby pojedyncze zera i wstawiając cztery pierwiastki dostałbys cztery równania.

mam nadzieję, że już wiesz co zrobić, gdyby \(\displaystyle{ Q}\) miał pierwiastek \(\displaystyle{ m}\)-krotny

[Premislav]

Jest takie ładne twierdzenie: \(\displaystyle{ x_{0}}\) jest pierwiastkiem n-krotnym wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\)
wtedy i tylko wtedy, gdy pochodne \(\displaystyle{ W}\) rzędów do \(\displaystyle{ n-1}\) włącznie zerują się w punkcie \(\displaystyle{ x_{0}}\), zaś n-ta pochodna \(\displaystyle{ W(x)}\) się w tym punkcie nie zeruje.

[NogaWeza]

No tak, dziękuję.
Premislav, nie znałem tego, ale ma sens, dzięki. Tak z ciekawości, na jakiej podstawie oceniasz czy twierdzenie jest ładne czy brzydkie?

[Premislav]

Jak mi się podoba, to jest ładne, a jak mi się nie podoba, to nie jest. To tak, jakbyś zapytał o to, czemu lubię muzykę taką czy śmaką.