Zadania z parametrem m

[majkyl76]

1/
Dla jakich wartości parametru m \(\displaystyle{ (m \in R)}\) dla których równanie \(\displaystyle{ (x ^{2}-x-2)\left[ x ^{2}+(m+3)x+1) \right]=0}\) ma cztery różne rozwiązania.

Ogólnie to zadanie praktycznie całe zrobiłem: Delta z m wyszła dodatnia i uzyskałem wynik z paraboli \(\displaystyle{ (- \infty ,-1),(5, +\infty)}\), ale w odpowiedziach jest jeszcze uwzględniony ułamek \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), który został odrzucony ze zbioru rozwiązań. Tutaj się pojawia moje pytanie: Skąd oni wzięli ten ułamek? :O

2.
\(\displaystyle{ (x-3)[x ^{2}-2(2p+1)x+(p+2) ^{2}]=0}\)

Tutaj jest podobnie... Mój wynik z delty to \(\displaystyle{ P \in \left\{-1,1 \right\}}\), a prawidłowe rozwiązanie to\(\displaystyle{ P \in \left\{ -1,7\right\}}\). Dlaczego 1 zostało odrzucone i skąd się wzięło 7?

[Nakahed90]

Ad 1
Mają być cztery różne pierwiastki, zatem żadne rozwiązanie drugie trójmianu (tj. \(\displaystyle{ x^2+(m+3)x+1}\)) nie może się pokryć z żadnym rozwiązaniem pierwszej trójmianu (tj. \(\displaystyle{ x^2-x-2}\))

Ad 2
Treść tu jest taka sama? Bo sądząc po rozwiązaniu, to treść jest inna.

[majkyl76]

Przepraszam przeoczyłem treść z zadania drugiego... Mają być dwa różne rozwiązania.

[Nakahed90]

To mamy tam dwa przypadki:
\(\displaystyle{ 1^{\circ} \\ \Delta>0 \wedge (x_{1}=3 \vee x_{2}=3) \\ 2^{\circ} \\ \Delta=0 \wedge x_{0}\neq 3}\)

W pierwszym przypadku łatwiej jest najpierw wyznaczyć p, dla których W(3)=0, a dopiero później sprawdzić warunek z deltą.

[majkyl76]

1.
Kiedy wyliczam deltę z drugiego nawiasu i wychodzi mi jeden z wyników, którym jest m=5. Po podstawieniu wynik z delty ma taką samą wartość jak jeden z wyników z pierwszego nawiasu, ale to 5 została odrzucona w wyniku odczytania paraboli jednak to nie wyjaśnia faktu skąd się wziął ten ułamek.

[Nakahed90]

Szczerze powiedziawszy to nie wiem, bo dla \(\displaystyle{ m=\frac{1}{2}}\) też są cztery pierwiastki, ale to nie zmienia faktu, że trzeba sprawdzić to o czym Ci wcześniej napisałem (bo istnieje takie m, że jeden pierwiastek się pokryje, i to nie jest uwzględnione w Twoim rozwiązaniu).

[majkyl76]

2. Dziękuje ci bo drugie zadanie teraz wyszło, ale mógłbyś powiedzieć mi dlaczego nie wychodziło to moim sposobem? Te zadania z parametrem sprawiają mi dużo kłopotu bo praktycznie co kolejne zadanie to inny sposób rozwiązywania.

1.
pierwszy nawias:
x1= 2
x2= -1

drugi nawias:
m1=1
m2=5

Parabola z m to
\(\displaystyle{ (- \infty ;1) \cup (5;+ \infty )}\)
i naprawdę nie wiem o jaki jeszcze ci pierwiastek chodzi
Po podstawieniu m1
x=1

Po podstawieniu m2
x=-1

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ W(x)=x^2+(m+3)x+1}\)

Sprawdź teraz dla jakich m zachodzi:
\(\displaystyle{ W(2)\neq 0 \\
W(-1) \neq 0}\)
Wtedy będziesz miał zagwarantowane, że żadne pierwiastki się nie powtórzą.

[majkyl76]

No tak, ale ja już mam to uwzględnione, ale pomimo wszystko to dalej nie tłumaczy tamtego ułamka.

[Nakahed90]

Co do tego ułamka, to jest to błąd w odpowiedziach.

Nadal nie masz tego co Ci wyżej napisałem uwzględnionego. W Twoim rozwiązaniu masz tylko narzucony warunek na istnienie dwóch pierwiastków drugiego wielomianu (sprawdzanie wartości krańcowych, tj. m=1 i m=5 nic nowego nie wnosi, bo wtedy \(\displaystyle{ \Delta}\) jest równa zero). Musisz narzucić jeszcze warunki, że:
\(\displaystyle{ W(2)\neq 0 \\
W(-1) \neq 0}\)
Bo one gwarantują, że będą to cztery różne pierwiastki.
Gdyby W(2)=0 (lub W(-1)=0) to mielibyśmy co najwyżej trzy różne pierwiastki (bo w każdym trójmianie by się co najmniej jeden powtarzał).

[majkyl76]

No tak obliczyłem to o czym powiedziałeś i mi wyszło:
z jednego że \(\displaystyle{ m \neq 5}\) a z drugiego \(\displaystyle{ m \neq 1}\), ale to mi nic nowego do zadania nie wnosi

[Nakahed90]

Pokaż jak to liczysz, bo masz gdzieś błąd rachunkowy (inne wartości m z tych warunków wychodzą).

[majkyl76]

Faktycznie się pomyliłem...
W(2)
\(\displaystyle{ 4+2m-6+1 \neq 0

2m \neq 1

m \neq \frac{1}{2}}\)
w(-1)
\(\displaystyle{ 1-1m+3+1 \neq 0


-m \neq -5

m \neq 5}\)

-- 21 sie 2015, o 14:26 --

3. Dla jakich wartości parametru m równanie
\(\displaystyle{ (m+2)x^{3}-2x^{2}+(m+3)x=0}\) ma trzy różne rozwiązania

wyciągamy x przed nawias i mamy jedno rozwiązanie, którym jest x=0
potem z deltyx a potem deltyM wychodzi nam

\(\displaystyle{ m1= \frac{-5- \sqrt{5} }{2}
m2= \frac{5+ \sqrt{5} }{2}}\)

Wykonałem \(\displaystyle{ W(0) \neq 0}\) co dało mi \(\displaystyle{ m \neq -3}\)
I brakuje mi jeszcze czegoś co odrzuci mi -2, która jest w odpowiedziach.

edit*
Dobra mam to -2 stoi jak byk w równaniu tylko potrzebuje pomocy w połączeniu wyników.
To sie robi metodą węża?

[Nakahed90]

Dlaczego -6?
\(\displaystyle{ W(2)=2^2+(m+3)2+1=4+2m+6+1=2m+11}\)

Drugie też jest źle.
\(\displaystyle{ W(-1)=(-1)^2+(m+3)\cdot (-1)+1=1-m-3+1=-m-1}\)

Ad 3.
Zapomniałeś o warunku aby był to wielomian stopnia trzeciego (współczynnik przy \(\displaystyle{ x^3}\) nie może się zerować).

Nie, metoda węża (jeżeli o tym samym myślimy) jest stosowana do nierówności. Łączenie wyników polega na wzięciu części wspólnej ze wszystkich warunków, tzn.:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ W(0)\neq 0 \\ m+2\neq 0 \end{cases}}\)

[majkyl76]

Przepraszam od samego początku źle podałem ci zadanie tam powinno być (m-3). Przepraszam że wprowadziłem cię w błąd. Teraz wszystko się zgadza. Już drugi raz mi pomagasz

3. Więc jak mam połączyć wyniki? Narysować na osi, bo w sumie to powychodziły mi pojedyncze punkty.