Pierwiastki wielomianów o współczynnikach z pierścienia Q

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
meursault
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 17 lip 2015, o 18:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zielona Góra
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1 raz

Pierwiastki wielomianów o współczynnikach z pierścienia Q

Post autor: meursault »

Proszę o pomoc w dowodzie takiego twierdzenia:

Jeżeli \(\displaystyle{ a + \sqrt{b}}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ F(X) \in Q[X]}\) to \(\displaystyle{ a - \sqrt{b}}\) również jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ F(X)}\). Gdzie \(\displaystyle{ a \in Q , b \in Q , \sqrt{b} \not\in Q}\).
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Pierwiastki wielomianów o współczynnikach z pierścienia Q

Post autor: a4karo »

Wsk. \(\displaystyle{ \sqrt{b}}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ G(X)=F(X-a)}\)

Oblicz, czemu jest równe \(\displaystyle{ G(\sqrt{b})}\) (to oczywiście \(\displaystyle{ 0}\), ale to zero można zapisać przypomocy kombinacji \(\displaystyle{ u+v\sqrt{b}, \ u.v\in\QQ}\). A jak można zapisać \(\displaystyle{ G(-\sqrt{b})}\)?
meursault
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 17 lip 2015, o 18:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zielona Góra
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1 raz

Pierwiastki wielomianów o współczynnikach z pierścienia Q

Post autor: meursault »

Dzięki, teraz już oczywiste
ODPOWIEDZ