Oś symetri wielomianu

[mol_ksiazkowy]

Dla jakich \(\displaystyle{ a}\) zbiór \(\displaystyle{ \{ (x, f(x)) : x \in R \}}\) gdzie \(\displaystyle{ f(x)= x^4+2ax^3 -2x^2 -6ax}\) ma oś symetrii ?

[piasek101]

Wielomian powinien być parzysty lub po przesunięciu lewa - prawa ma być parzysty.

[kerajs]

Z osi symetrii drugiej pochodnej i ekstremum na niej leżącym dostanie się trzy rozwiazania :
1) dla \(\displaystyle{ a=0}\) wielomian\(\displaystyle{ f(x)=x^4-2x^2}\) ma oś symetrii \(\displaystyle{ x=0}\)
2) dla \(\displaystyle{ a=2}\) wielomian\(\displaystyle{ f(x)=(x+1)^4-8(x+1)^2 +7}\) ma oś symetrii \(\displaystyle{ x=-1}\)
3) dla \(\displaystyle{ a=-2}\) wielomian\(\displaystyle{ f(x)=(x-1)^4-8(x-1)^2 +7}\) ma oś symetrii \(\displaystyle{ x=1}\)

[pesel]

Wielomian powinien być parzysty lub po przesunięciu lewa - prawa ma być parzysty.

Mam pewną wątpliwość odnośnie tej odpowiedzi. Przecież dla funkcji wielomianowej:

\(\displaystyle{ y=ax+b}\)

każda prosta prostopadła do danej: \(\displaystyle{ y= -\frac{1}{a}x+c}\) jest osią symetrii.

No i czy w rozwiązaniu nie powinniśmy przywołać twierdzenia, że wielomiany stopnia wyższego niż 1 nie mają ukośnych osi symetrii?

[Dilectus]

Mam pewną wątpliwość odnośnie tej odpowiedzi. Przecież dla funkcji wielomianowej:

y=ax+b

Przecież jest to wielomian stopnia nieparzystego.

[pesel]

Wielomian powinien być parzysty lub po przesunięciu lewa - prawa ma być parzysty.

Nie chodziło o parzystość stopnia wielomianu tylko o parzystość funkcji. Jak translacja może zmieniać stopień wielomianu? A nawet jakby chodziło o stopień wielomianu to jest napisane, że "powinien być parzysty", a podany przeze mnie nie jest a ma oś symetrii.

[Dilectus]

Translacja nie zmienia stopnia wielomianu, tylko może sprawić, że niektóre wielomiany stopnia parzystego staną się funkcją parzystą, czyli symetryczną wzgl. osi \(\displaystyle{ OY}\)

[piasek101]

No i czy w rozwiązaniu nie powinniśmy przywołać twierdzenia, że wielomiany stopnia wyższego niż 1 nie mają ukośnych osi symetrii?

Tak powinniśmy.

A moje rozwiązanie :
zamiast x-sa wstawić np \(\displaystyle{ (x+b)}\) i wyznaczyć co trzeba (aby mieć wielomian parzystego stopnia).