Wielomiany - dzielenie , zadania

[Paweł]

Hey mam 2 zadankla i nie wiem jak rozwiązac , prosze o pomoc

1)Przy jakich watosciach a i b trójmian \(\displaystyle{ ax^{20} + bx^{19} + 1}\) , dzieli sie przez \(\displaystyle{ x^{2} + x + 1}\)?

2)Dany jest wielomian W(x) = \(\displaystyle{ ax^{2} + bx + c}\) , przy czym W(1) = m + 2 ,\(\displaystyle{ W(\frac{1}{3}) = m , W(\frac{-1}{3})}\) = m-2 , gdzie m jest pewna liczba . Udowodnij , że W(x) jest wielomianem stopnia pierwszego.

[Tomasz Rużycki]

Zadanie 2.

\(\displaystyle{ a+b+c=m+2}\) \(\displaystyle{ W(1)=m+2}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{9}a+\frac{1}{3}b+c=m}\) \(\displaystyle{ W(\frac{1}{3})=m}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{9}a-\frac{1}{3}b+c=m-2}\) \(\displaystyle{ W(-\frac{1}{3})=m-2}\)

Rozwiąż ten układ, wychodzi, że a=0.

Zadanie 1.

Nie mam obecnie żadnego pomysłu :/ Po prostu bym to dzielił pod kreskę.... Wiem ile z tym roboty jest... Może ktoś inny na coś wpadnie:P


Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

[Paweł]

Dzieki za zadanie drugie , a co do pierwszego dzielic , jej to sobie troche podziele , ale jesli ktos ma lepszy pomysl to bede wdzieczny

[_el_doopa]

\(\displaystyle{ ax^{20}+bx^{19}+1=(x^2+x+1)(a_{18}x^{18}+...+a_0)}\)
i masz uklad rownan:
\(\displaystyle{ a=a_{18}}\)
\(\displaystyle{ b=a_{18}+a_{17}}\)
\(\displaystyle{ 0=a_{18}+a_{17}+a_{16}}\)
...
\(\displaystyle{ 0=a_i+a_{i-1}+a_{i-2}}\)
...
\(\displaystyle{ 0=a_2+a_1+a_0}\)
\(\displaystyle{ 0=a_1+a_0}\)
\(\displaystyle{ 1=a_0}\)

zauważ, że:
\(\displaystyle{ a_1=-1}\)
\(\displaystyle{ a_2=0}\)
\(\displaystyle{ a_3=1}\)
\(\displaystyle{ a_4=-1}\)
\(\displaystyle{ a_5=0}\)
\(\displaystyle{ a_6=1}\)
...
\(\displaystyle{ a_{17}=0}\)
\(\displaystyle{ a_{18}=1}\)
stąd \(\displaystyle{ b=1,a=1}\)

[Paweł]

a = 1 i b=1 i tak mialo byc . Dziekowa ziomuś