Podziel wielomian przez wielomian

[moss2]

\(\displaystyle{ \frac{8n^{3}-36n^{2}+52n-24}{n^{3}-3n^{2}+2n}}\)
Jak to rozwiązać, może deltą?-- 3 lip 2015, o 15:32 --Może na innym przykładzie.
\(\displaystyle{ 2n^{3}-3n^{2}+n-180=0}\)
Jak to poprawnie rozbić na 2 iloczyny? Jakim sposobem to się robi?

[SlotaWoj]

Mianownik:

• \(\displaystyle{ n^3-3n^2+2n=n\mbox{·}\left(n^2-3n+2\right)=n\mbox{·}\left(n-1\right)\mbox{·}\left(n-2\right)}\)

a \(\displaystyle{ n=1}\) i \(\displaystyle{ n=2}\) są pierwiastkami licznika, więc da się go podzielić przez dwumiany \(\displaystyle{ \left(n-1\right)}\) i \(\displaystyle{ \left(n-2\right)}\) .

[Zahion]

Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych i twierdzenie Bezout'a pomaga.

[moss2]

\(\displaystyle{ W(5)=2 \cdot 5^{3}-3 \cdot 5^{2}+5-180=0}\)

\(\displaystyle{ 250-75-175=0}\)

\(\displaystyle{ 250-250=0}\)

\(\displaystyle{ 0=0}\)

Liczba 5 jest pierwiastkiem tego wielomianu.

\(\displaystyle{ (n-5)=0}\) \(\displaystyle{ n=5}\)

Liczba 5 zeruje nam wielomian.

\(\displaystyle{ W(5)=0}\)

\(\displaystyle{ \frac{2n^{3}-3n^{2}+n-180=0}{(n-5)}=2n^{2}+7n+36}\)

Nasze 2 iloczyny po rozbiciu wyglądają następująco:

\(\displaystyle{ (2n^{2}+7n+36) \cdot (n-5)=0}\)

Δ<0 brak rozwiązań z równania kwadratowego. Mamy więc tylko jedno rozwiązanie n=5.

-- 4 lip 2015, o 09:12 --

\(\displaystyle{ \frac{(8n^{2}-28n+24) \cdot (n-1)}{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)}}\)

\(\displaystyle{ \frac{(8n^{2}-28n+24)}{n \cdot (n-2)}}\)

\(\displaystyle{ x_{1}=2}\)

\(\displaystyle{ x_{2}= \frac{3}{2}}\)

\(\displaystyle{ (n-2) \cdot (n- \frac{3}{2} )}\)

Pierwsze dwa wyrazy w pierwszym czynniku mnożymy razy cztery, więc wychodzi nam:
\(\displaystyle{ (4n-8)}\)

Pierwsze dwa wyrazy w drugim czynniku mnożymy razy dwa, więc wychodzi nam:
\(\displaystyle{ (2n-3)}\)

Iloczyn kwadratowy ma teraz postać: \(\displaystyle{ (4n-8) \cdot (2n-3)}\)

\(\displaystyle{ \frac{(4n-8) \cdot (2n-3)}{n \cdot (n-2)}= \frac{4 \cdot (n-2) \cdot (2n-3)}{n \cdot (n-2)}=\frac{8n-12}{n}= \frac{8n}{n}- \frac{12}{n}=8- \frac{12}{n}}\)

[SlotaWoj]

Wynik dobry.
Tu jest błąd w sformułowaniu:

Δ<0 brak rozwiązań z równania kwadratowego. Mamy więc tylko jedno rozwiązanie n=5.

Powinno być:

• \(\displaystyle{ \Delta<0}\) – brak rozwiązań z równania kwadratowego. Trójmianu kwadratowego nie można rozłożyć na iloczyn dwumianów.

Tu też jest błąd w sformułowaniu:

Iloczyn kwadratowy ma teraz postać: \(\displaystyle{ (4n-8)\cdot(2n-3)}\)

Powinno być:

• Postać iloczynowa trójmianu kwadratowego jest następująca: \(\displaystyle{ (4n-8)\cdot(2n-3)}\)

Zadanie zrobiłeś dobrze, ale masz kłopot z formułowaniem „myśli matematycznych”. Zwracaj większą uwagę na komentarze do rozwiązań; powinny być poprawne językowo i matematycznie, a to drugie oznacza: jednoznaczne, wyrażone przy pomocy właściwych terminów i prawdziwe. Ma to mniejsze znaczenie od samego rozwiązania ale wpływa (tak zaobserwowałem) na otrzymywane oceny.