Jaki tu współczynnik?

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Jaki tu współczynnik?

Post autor: mol_ksiazkowy »

Jaki jest współczynnik przy \(\displaystyle{ x^2}\) w rozwinięciu wyrażenia \(\displaystyle{ (x-1)(x-2)(x-3)...(x-n)}\) ?
Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 926
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 274 razy

Jaki tu współczynnik?

Post autor: Elayne »

Sekwencja A000399 OEIS:

Kod: Zaznacz cały

http://oeis.org/A000399
Awatar użytkownika
pi0tras
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 283
Rejestracja: 7 lut 2011, o 16:41
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 91 razy
Pomógł: 1 raz

Jaki tu współczynnik?

Post autor: pi0tras »

Można najpierw sprowadzić ten iloczyn do bardziej przystępnej postaci: \(\displaystyle{ (x-1)(x-2)(x-3)...(x-n) = (-1)^{n} \cdot n! \cdot (1-\frac{x}{1})(1-\frac{x}{2})(1-\frac{x}{3})...(1-\frac{x}{n}) = (-1)^{n} \cdot n! \cdot \prod_{i=1}^{n}(1-\frac{x}{i})}\)

Właściwie to będzie interesować nas tylko druga część tego iloczynu czyli \(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n}(1-\frac{x}{i})}\). Wiadomo, że po wymnożeniu przez siebie tych wszystkich \(\displaystyle{ n}\) nawiasów i pogrupowaniu wyrazów otrzymamy jakiś wielomian typu:

\(\displaystyle{ a_{0}\cdot x^{0} + a_{1}\cdot x^{1} + .... + a_{n}\cdot x^{n}}\)

gdzie te wszystkie \(\displaystyle{ a_{i}, \ i \in \mathbb{N} \wedge i \le n}\) są jakimiś liczbami rzeczywistymi. Proces tworzenia się tego wielomianu końcowego można rozpatrzeć jako pewien proces iteracyjny o \(\displaystyle{ n}\) krokach, gdzie w pierwszym kroku mamy jednomian \(\displaystyle{ 1 - \frac{x}{1}}\), z kolei przejście z \(\displaystyle{ k}\) kroku do kroku \(\displaystyle{ k+1}\) gdzie , \(\displaystyle{ k+1 <= n}\), polega na wymnożeniu wielomianu który mieliśmy do tej pory przez jednomian \(\displaystyle{ 1 - \frac{x}{k+1}}\) ponieważ w \(\displaystyle{ k+1}\) - wszym nawiasie współczynnik przy \(\displaystyle{ x}\) wynosi \(\displaystyle{ -\frac{1}{k+1}}\), przez \(\displaystyle{ I(k,x), k \in \mathbb{N} \wedge k \le n, x \in \mathbb{R}}\) będę oznaczał wielomian który został otrzymany po \(\displaystyle{ k}\)-tej ilości iteracji, \(\displaystyle{ k \le n}\) i który jest przedstawiony w postaci podstawowej np.:

\(\displaystyle{ I(1,x) = 1 - \frac{x}{1}}\)

Mając już \(\displaystyle{ I(k,x), k+1 \le n}\) chcąc przejść do \(\displaystyle{ I(k+1,x)}\) musimy wykonać następującą rzecz:

\(\displaystyle{ I(k+1,x) = I(k,x) \cdot (1 - \frac{x}{k+1}) =}\)


\(\displaystyle{ a_{0,k}\cdot x^{0} \ \ \ + a_{1,k}\cdot x^{1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +a_{2,k}\cdot x^{2} + ... \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + a_{n,k}\cdot x^{n}}\)

\(\displaystyle{ +}\)

\(\displaystyle{ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +(a_{0,k}\cdot x^{1})\cdot(-\frac{1}{k+1}) \ \ \ \ + a_{1,k}\cdot x^{2}\cdot(-\frac{1}{k+1}) + ............ + a_{n-1,k}\cdot x^{n}\cdot(-\frac{1}{k+1}) + a_{n,k}\cdot x^{n+1}\cdot(-\frac{1}{k+1})}\)



Zapis ten może nie wydawać się taki jasny, ale chodzi głównie o to, że trzeba zauważyć kilka rzeczy: ilość składników w sumie zwiększa się o 1 w stosunku do poprzedniego np. dla \(\displaystyle{ I(1,x) = 1 - \frac{x}{1}}\) mamy dwa składniki, a \(\displaystyle{ I(2,x) = 1 - x \cdot (\frac{1}{1} + \frac{1}{2}) + x^{2} \cdot \frac{1}{2!}}\) mamy już trzy składniki, należy zauważyć również najważniejszą rzecz: współczynnik przy \(\displaystyle{ m}\) -tej potędze \(\displaystyle{ x}\) powstaje w ten sposób, że jeśli w poprzednim kroku iteracyjnym współczynnik przy \(\displaystyle{ m}\) - tej potędze wynosił \(\displaystyle{ a}\), a przy \(\displaystyle{ m-1}\)-wszej (również w tym samym kroku) wynosił \(\displaystyle{ b}\) to współczynnik przy tej samej potędze w następnym kroku będzie wynosił: \(\displaystyle{ a - \frac{b}{k+1}}\) gdzie, \(\displaystyle{ k+1}\) to krok który aktualnie rozpatrujemy, z racji tego współczynnik przy najniższej potędze \(\displaystyle{ 0}\) - będzie wynosił zawsze tyle samo czyli 1, bo nie istnieje poprzedni składnik, jeśli więc będziemy mieli postać składnika jaki jest przy 1 potędze \(\displaystyle{ x}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) będziemy mogli otrzymać postać składnika jak ijest przy drugiej potędze, skoro w pierwszym kroku iteracyjnym współczynnik przy potędze pierwszej wynosi \(\displaystyle{ -1}\) a dla zerowej potęgi zawsze wynosi 1, to w drugim kroku iteracyjnym będzie wynosił \(\displaystyle{ -(1 + \frac{1}{2})}\), w trzecim będzie wynosił \(\displaystyle{ -(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3})}\), po chwili zastanowienie widać, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) współczynnik przy pierwszej potędze wynosi \(\displaystyle{ - \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}}\), sprawdzenie indukcyjne:

\(\displaystyle{ I(1,x) = 1 -\frac{1}{1}\cdot x^{1}}\)

\(\displaystyle{ - \sum_{i=1}^{1}\frac{1}{i} = -1}\)

założenie indukcyjne: dla \(\displaystyle{ k-1}\) wyrazów \(\displaystyle{ k \le n}\) wzór na współczynnik przy pierwszej potędze jest prawdziwy.

\(\displaystyle{ I(k-1,x) = 1 - \sum_{i=1}^{k-1}\frac{1}{i} \cdot x + .............}\)

\(\displaystyle{ I(k,x) = (1 - \sum_{i=1}^{k-1}\frac{1}{i} \cdot x + .............) \cdot (1 - \frac{x}{k}) = (1 - \sum_{i=1}^{k-1}\frac{1}{i} \cdot x + .............) +( - \frac{x}{k} + ....... +) = 1 - \sum_{i=1}^{k}\frac{1}{i} \cdot x + .........}\),


czyli, że dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) współczynik przy pierwszej potędze wielomianu w postaci podstawowej wynosi \(\displaystyle{ - \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}}\)

Czyli, że dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) \(\displaystyle{ , \ \ \ \ \ \prod_{i=1}^{n}(1-\frac{x}{i}) = 1 + x \cdot \left( - \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}\right) + ..................}\)


Zgodnie z tym co tam napisałem wcześniej o sposobie powstawania współczynnika przy \(\displaystyle{ m}\)-tej potędze w \(\displaystyle{ k}\)-tym kroku iteracyjnym można ułożyć równanie rekurencyjne którego rozwiązanie będzie rozwiązaniem tego ile wynosi współczynnik przy drugiej potędze wielomianu który powstanie po wymnożeniu wszystkich nawiasów iloczynu \(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n}(1-\frac{x}{i})}\) a następnie po ich pogrupowaniu:



\(\displaystyle{ f(k) = \begin{cases} 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ,k = 1 \\ f(k-1) + \frac{1}{k} \cdot \sum_{i=1}^{k-1}\frac{1}{i} \ , n > 1 \end{cases}}\)


Równanie te jest dosyć proste bo współczynnik przy \(\displaystyle{ f(k-1)}\) wynosi 1, po jego rozwiązaniu otrzymamy coś takiego: współczynnik przy drugiej potędze jest równy: \(\displaystyle{ \sum_{i=2}^{n} \left( \frac{1}{i} \sum_{k=1}^{i-1}\frac{1}{k} \right)}\)

Sprawdzenie indukcyjne:

\(\displaystyle{ I(2,x) = 1 - x \cdot (\frac{1}{1} + \frac{1}{2} )+ \frac{1}{2!}\cdot x^{2}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{i=2}^{2} \left(\frac{1}{i} \sum_{k=1}^{i-1}\frac{1}{k} \right) = \frac{1}{2}}\)



Zakładając poprawność tezy dla \(\displaystyle{ k}\) początkowych wyrazów:


\(\displaystyle{ I(k,x) = 1 - x \cdot \left( \sum_{i=1}^{k}\frac{1}{i} \right) + x^{2} \cdot \left( \sum_{i=2}^{k} \left( \frac{1}{i} \sum_{m=1}^{i-1}\frac{1}{m} \right) \right) + ...............}\)

\(\displaystyle{ I(k+1,x) = I(k,x)\cdot (-\frac{x}{k+1})}\)

po wymnożeniu widać, że współczynnik przy drugiej potędze wynosi \(\displaystyle{ \sum_{i=2}^{k+1} \left( \frac{1}{i} \sum_{m=1}^{i-1}\frac{1}{m} \right)}\)


ODPOWIEDŹ :

Czyli, że dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) współczynnik przy drugiej potędze wynosi: \(\displaystyle{ (-1)^{n}\cdot n!\cdot\sum_{i=2}^{n} \left( \frac{1}{i} \sum_{k=1}^{i-1}\frac{1}{k} \right)}\)
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Jaki tu współczynnik?

Post autor: mol_ksiazkowy »

Zadanie z Nierozwiązanych
Ukryta treść:    
ODPOWIEDZ