Dzielenie wielomianów

[Antek1122]

Witajcie, potrzebuję pomocy z rozwiązaniem tego zadania. Dzielenie wielomianów jest moją piętą Achillesową, dlatego próbuję się tego nauczyć. Pozdrawiam cieplutko.

Sprawdź, czy wielomian \(\displaystyle{ w(x)= x^{4}+4x^{3}+15x^{2}+13x-2}\) jest podzielny przez dwumian \(\displaystyle{ q(x)= x+1}\). Sformułuj poprawną odpowiedź oraz wielomian \(\displaystyle{ w(x)}\) zapisz w postaci \(\displaystyle{ w(x)= p(x)q(x)+r}\)

[Poszukujaca]

Jeśli ten wielomian jest podzielny przez dwumian \(\displaystyle{ x+1}\) to jego pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ x=-1}\). Sprawdź czy to prawda

[Antek1122]

Jeśli ten wielomian jest podzielny przez dwumian \(\displaystyle{ x+1}\) to jego pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ x=-1}\). Sprawdź czy to prawda

Chciałbym zrozumieć o co chodzi z tym pierwiastkiem. Pewnie nie chodzi tutaj o podstawienie pod x -1. Totalnie nie rozumiem, nakierujesz mnie bardziej?

[Poszukujaca]

Jeśli wielomian \(\displaystyle{ w(x)}\) jest podzielny przez dwumian \(\displaystyle{ x+1}\), to znaczy, że możemy zapisać: \(\displaystyle{ w(x)=q(x) \cdot (x+1)}\), gdzie \(\displaystyle{ q(x)}\) jest wielomianem niższego stopnia o jeden niż \(\displaystyle{ w(x)}\) czyli w tym przypadku stopnia trzy.

Teraz widzisz?

[a456]

Policz \(\displaystyle{ W(-1)}\), czyli podstaw za \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ -1}\). Jeśli dostaniesz \(\displaystyle{ 0}\) to będzie znaczyło, że wielomian jest podzielny przez dwumian \(\displaystyle{ x+1}\).

Jeśli chodzi o Twój poprzedni temat, który wylądował w koszu - masz błąd, powinno być \(\displaystyle{ -3x^3-3x^2}\) zamiast \(\displaystyle{ -3x^3+3x^2}\).

[Antek1122]

Bardziej chodzi tutaj o rozpisanie tego pisemnie, bo muszę z tego sprawdzian napisać i wątpię, by zaakceptowany był zapis przez podstawienie pod x -1. Ale po podstawieniu otrzymałem -27.

[a456]

Masz polecenie sprawdź czy wielomian jest podzielny przez dwumian... Więc jak najbardziej taki zapis zostałby zaakceptowany. W każdym razie masz podpowiedź do tego, co masz źle w swoim poprzednim rozwiązaniu.

Edit: Jakim cudem dostałeś \(\displaystyle{ -27}\)?

[Antek1122]

Muszę zapisać to całe dzielenie w postaci \(\displaystyle{ w(x)= p(x)q(x)+r}\), więc muszę podzielić pisemnie.

-- 14 cze 2015, o 17:37 --

\(\displaystyle{ \begin{array}{lll}
x^4 - 4x^3 + 15x^2 +13x - 2 & : & x+1 \\
\underline{-x^4 - x^3} & & \\
\qquad 3x^3 + 15x^2 & & \\
\qquad \ \ \underline{-3^3 - 3x^2} & &\\
\qquad \qquad \qquad 12x^2 + 13x & & \\
\qquad \qquad \quad \underline{-12x^2 - 12x} & & \\
\qquad \qquad \qquad \qquad x - 2 & & \\
\qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \underline{-x - 1} & & \\
\qquad \qquad \qquad \qquad \quad R = -3 & &
\end{array}}\)

Na górze otrzymałem \(\displaystyle{ x^3+3x^2+12x+1}\)

Czy to jest poprawnie zrobione?

[a456]

Ok nie zauważyłem tego, więc niech będzie pisemnie.
Pewnie u siebie na kartce policzyłeś dobrze, bo wyszło tak jak powinno. Ale w tym dzieleniu co wstawiłeś na forum są same błędy, nawet źle przepisałeś wielomian \(\displaystyle{ w(x)}\).

Czyli ostatecznie \(\displaystyle{ w(x)=(x^3+3x^2+12x+1)(x+1)-3}\)

[Antek1122]

Błędy poprawione, dziękuję bardzo za pomoc.