Rozmieszczenie pierwiastków

[mol_ksiazkowy]

Czy równanie \(\displaystyle{ \frac{1}{x-a_1} + \frac{1}{x-a_2} + …. + \frac{1}{x-a_n}=0}\) ma jedno jedyne rozwiązanie w zbiorze \(\displaystyle{ (a_j, a_{j+1})}\) dla \(\displaystyle{ j =1, …, n-1}\) o ile \(\displaystyle{ a_1 < .... <a_n}\) ?
np. Równanie \(\displaystyle{ \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-3} = 0}\) ma je \(\displaystyle{ x=2}\) itp.

[kerajs]

Niech:
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x-a_1} + \frac{1}{x-a_2} + …. + \frac{1}{x-a_n}, \ \ \ \ D: x \in \RR \setminus \left\{ a _{1}, a _{2},...a _{n}\right\}}\)

\(\displaystyle{ 1. \ \ \ \bigwedge\limits_j \left( \lim_{ x\to a _{j }^{-}}f(x)= - \infty \right) \wedge \left( \lim_{ x\to a _{j }^{+}}f(x)= + \infty \right)}\)
\(\displaystyle{ 2. \ \ \ f ^{'} (x)=\frac{-1}{\left( x-a_1\right)^2 } + \frac{-1}{\left( x-a_2\right)^2 } + …. + \frac{-1}{\left( x-a_n\right)^2 } \ \ \Rightarrow \ \ \bigwedge\limits_{x \in D} f ^{'} (x)<0}\)


W każdym z przedziałów \(\displaystyle{ (a_j, a_{j+1})}\) funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) maleje (pkt 2.) przebiegając cały zbiór \(\displaystyle{ \RR}\) (pkt 1.) co daje tezę zadania.

Dokładając:
\(\displaystyle{ 3. \ \ \ \left( \lim_{ x\to - \infty}f(x)= 0 \right) \wedge \left( \lim_{ x\to \infty}f(x)= 0 \right)}\)
wiadomo, że równanie z treści zadania ma dokładnie \(\displaystyle{ n-1}\) rozwiązań po jednym w każdym z przedziałów \(\displaystyle{ (a_j, a_{j+1})}\)

[Zordon]

Jeśli oznaczyć funkcję z zadania przez \(\displaystyle{ f}\) oraz \(\displaystyle{ g(x) = (x-a_1)\cdots (x-a_n)}\) to łatwo się przekonać, że \(\displaystyle{ g'(x) = f(x) g(x)}\) z czego po chwili namysłu wynika, że \(\displaystyle{ g'(x)}\) oraz \(\displaystyle{ f(x)}\) mają jednakowe zera.