Dla jakiej wartości parametru m wielomian \(\displaystyle{ P \left( x \right) = x^4 + mx^3 - \left( m+1 \right) x^2 - m^2x + m}\) ma 4 pierwiastki, których suma jest równa \(\displaystyle{ -2}\).
Od razu zaznaczam, że nie jest mi potrzebny wynik, tylko sposób rozwiązywania.
Thx
Mam nadzieję, że nie było jeszcze takiego tematu. Jeżeli był, to z góry przepraszam.
Wielomian czwartego stopnia z parametrem
Wielomian czwartego stopnia z parametrem
wzory Viete'a(pod warunkiem ze ma 4 pierwiastki)
\(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+x_4=-m}\)
czyli drugi warunek jest spełniony jeśli spelniony jest pierwszy oraz:
\(\displaystyle{ m=2}\)
wystarczy sprawdzic czy wielomian ma 4 pierwiastki:
\(\displaystyle{ P(x)=x^4+2x^3-3x^2-4x+2}\)
zeby to wykzac skorzystak z ciaglosci wielomianu i z tego ze
\(\displaystyle{ P(0)=2}\) oraz \(\displaystyle{ P(1)=-2}\)
\(\displaystyle{ P(-1)=2}\) oraz \(\displaystyle{ P(-2)=-2}\)
\(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+x_4=-m}\)
czyli drugi warunek jest spełniony jeśli spelniony jest pierwszy oraz:
\(\displaystyle{ m=2}\)
wystarczy sprawdzic czy wielomian ma 4 pierwiastki:
\(\displaystyle{ P(x)=x^4+2x^3-3x^2-4x+2}\)
zeby to wykzac skorzystak z ciaglosci wielomianu i z tego ze
\(\displaystyle{ P(0)=2}\) oraz \(\displaystyle{ P(1)=-2}\)
\(\displaystyle{ P(-1)=2}\) oraz \(\displaystyle{ P(-2)=-2}\)
-
Tomasz Rużycki
- Użytkownik
- Posty: 2970
- Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 293 razy
Wielomian czwartego stopnia z parametrem
To co jest w programie LO to tylko 'kawałek' twierdzenia Viete'a
Treść:
Liczby \(\displaystyle{ x_1,\,x_2,\,...,\,x_n}\) są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0}\), gdzie \(\displaystyle{ a_n\neq 0}\), wtedy i tylko wtedy, gdy spełniają układ równań:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^nx_i=-\frac{a_{n-1}}{a_n}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{1\leq i<j\leq n}x_ix_j=\frac{a_{n-2}}{a_n}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{1\leq i<j<k\leq n}x_ix_jx_k=-\frac{a_{n-3}}{a_n}}\)
...
\(\displaystyle{ \sum_{1\leq i_1<i_2<...<i_k\leq n} x_{i_1}x_{i_2}...x_{i_k}=(-1)^k\cdot \frac{a_{n-k}}{a_n}}\)
\(\displaystyle{ x_1x_2x_3...x_n=(-1)^n\cdot \frac{a_0}{a_n}}\)
Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki
Treść:
Liczby \(\displaystyle{ x_1,\,x_2,\,...,\,x_n}\) są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0}\), gdzie \(\displaystyle{ a_n\neq 0}\), wtedy i tylko wtedy, gdy spełniają układ równań:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^nx_i=-\frac{a_{n-1}}{a_n}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{1\leq i<j\leq n}x_ix_j=\frac{a_{n-2}}{a_n}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{1\leq i<j<k\leq n}x_ix_jx_k=-\frac{a_{n-3}}{a_n}}\)
...
\(\displaystyle{ \sum_{1\leq i_1<i_2<...<i_k\leq n} x_{i_1}x_{i_2}...x_{i_k}=(-1)^k\cdot \frac{a_{n-k}}{a_n}}\)
\(\displaystyle{ x_1x_2x_3...x_n=(-1)^n\cdot \frac{a_0}{a_n}}\)
Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki
Ostatnio zmieniony 16 lut 2005, o 09:19 przez Tomasz Rużycki, łącznie zmieniany 1 raz.