Maturalna nierówność.

mich12 · Post autor: **mich12** » 13 maja 2015, o 22:40

Zadanie z matury:

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) prawdziwa jest nierówność:
\(\displaystyle{ x ^{4}- x ^{2} -2x+3>0}\)

Dzielniki wyrazu \(\displaystyle{ a _{0}=3}\):
\(\displaystyle{ \pm1; \pm3}\)

Dzielniki wyrazu \(\displaystyle{ a _{4}=1}\):
\(\displaystyle{ \pm1}\)

Potencjalne pierwiastki:
\(\displaystyle{ 1;3;-1;-3}\)

\(\displaystyle{ W(1) \wedge W(-1) \wedge W(3) \wedge W(-3) \neq 0}\), zatem wielomian nie ma miejsc zerowych oraz wykres wielomianu zaczynamy rysować od prawej strony ( bo \(\displaystyle{ a _{4}= 1>0}\) ).

Oznacza to, że wykres wielomianu będzie zawsze ponad osią OX, tzn. większy od zera, c.k.d.

Zrobiłem to tym sposobem. Jednak wiem, że nie uwzględniłem także pierwiastków niewymiernych. Czy w świetle tego dostanę jakiekolwiek punkty? Choć jeden? Zadanie jest na 3 punkty. Nie daje mi to spokoju, proszę o pomoc.

Alad · Post autor: **Alad** » 13 maja 2015, o 22:45

Nie dostaniesz żadnego.

a456 · Post autor: **a456** » 13 maja 2015, o 22:51

Myślę, że nie ma co liczyć na jakiekolwiek punkty.
Dam dla przykładu zadanie: sprawdź czy dla każdego \(\displaystyle{ x}\) zachodzi \(\displaystyle{ x^4+5x^2-6x+1>0}\)

Też nie ma pierwiastków wymiernych i też zaczynamy rysować wykres od prawej (chociaż może chodzi o to, że współczynnik przy dominującej potędze która jest parzysta - jest dodatni).
Jednak ta nierówność nie będzie spełniona dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\).

To co napisałeś niestety nie udowadnia niczego.

mich12 · Post autor: **mich12** » 13 maja 2015, o 22:52

Cholera, mogłem użyć dwóch innych metod, bo znałem je, ale oczywiście wybrałem tę ze stresu...

Post autor: **Zahion** » 13 maja 2015, o 22:55

Generalnie jeśli mamy klucz punktowania, to każdy punkt, który dostajemy za rozwiązanie przybliża nas do niego, natomiast w Twoim wypadku tego klucza prawdopodobnie nie będzie, bo to co robisz w ogóle nie przybliża nas do rozwiązania, ponadto zapis

mich12 pisze:
\(\displaystyle{ W(1) \wedge W(-1) \wedge W(3) \wedge W(-3) \neq 0}\), zatem wielomian nie ma miejsc zerowych oraz wykres wielomianu zaczynamy rysować od prawej strony ( bo \(\displaystyle{ a _{4}= 1>0}\) ).

w ogóle nie poprawia Twojej sytuacji.

mich12 · Post autor: **mich12** » 14 maja 2015, o 01:22

\(\displaystyle{ W(1) \wedge W(-1) \wedge W(3) \wedge W(-3) \neq 0}\)
Tzn. tak na maturze nie zapisałem, tylko zrobiłem to tutaj żeby było szybciej :/
Szkoda że poległem na tak prostym zadaniu :/

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 14 maja 2015, o 02:52

Możesz korzystając z pochodnej możesz zbadać kiedy funkcja rośnie a kiedy maleje
Pozwoli ci to wywnioskować jakie wartości przyjmuje wielomian czwartego stopnia

Możesz też rozłożyć wielomian na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych
i sprawdzić znak ich wyróżników

\(\displaystyle{ x ^{4}- x ^{2} -2x+3>0\\
W\left(x \right)=x ^{4}- x ^{2} -2x+3\\
W'\left( x\right)=4x^{3}-2x-2\\
4x^{3}-2x-2=0\\
2x^3-x-1=0\\
2x^3-2-x+1=0\\
2\left( x^3-1\right)-\left( x-1\right)=0\\
2\left(x-1 \right)\left( x^2+x+1\right)-\left( x-1\right)=0\\
\left( x-1\right)\left( 2x^2+2x+2-1\right)=0\\
\left( x-1\right)\left(2x^2+2x+1\right)=0\\
\Delta=4-4 \cdot 2 \cdot 1=-4<0}\)

\(\displaystyle{ W\left( x\right)}\) maleje dla \(\displaystyle{ \left( -\infty,1\right)}\)
\(\displaystyle{ W\left( x\right)}\) rośnie dla \(\displaystyle{ \left( 1, \infty \right)}\)

\(\displaystyle{ W\left( 1\right)=1-1-2+3=4-3=1}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty }W\left( x\right)=\lim_{x \to \infty }x^{4}\left(1-\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}+\frac{3}{x^4} \right)= \infty}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty }W\left( x\right)=\lim_{x \to -\infty }x^{4}\left(1-\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}+\frac{3}{x^4} \right)= \infty}\)

a4karo · Post autor: **a4karo** » 14 maja 2015, o 07:21

\(\displaystyle{ x^4-x^2-2x+3=x^4-2x^2+x^2-2x+3=x^4-2x^2+1+x^2-2x+1+1=(x^2-1)^2+(x-1)^2+1}\)