Wyznacz ilość rozwiązań w zalezności od parametru m

kiper100 · Post autor: **kiper100** » 3 maja 2015, o 18:48

Wyznacz wszystkie wartości parametru m dla których równanie \(\displaystyle{ x^{3}-mx+2=0}\) ma rzy rozwiązania. Wiem że odpowiedź jest \(\displaystyle{ m>3}\) ale nie potrafię do tego dojść matematycznie.

musialmi · Post autor: **musialmi** » 3 maja 2015, o 18:56

Wyobraź sobie wykres tej funkcji (wykres jakiegokolwiek wielomianu trzeciego stopnia). Ten wykres ma jedno maksimum lokalne i jedno minimum lokalne. Musisz umiejscowić minimum dostatecznie nisko, a maksimum dostatecznie wysoko

a4karo · Post autor: **a4karo** » 3 maja 2015, o 22:02

Innymi słowy iloczyn wartości funkcji w punktach, gdzie jest lokalne minimum i maksimum, musi być ujemny.

Dilectus · Post autor: **Dilectus** » 3 maja 2015, o 22:21

Czy wiesz, jak parametr \(\displaystyle{ m}\) wpływa na kształt wykresu tej funkcji? - Sprawdź to, rysując wykresy tego wielomianu przy różnych dodatnich i ujemnych wartościach tego parametru. Ja to robiłem w programie Graph . Zauważ, że wszystkie te wykresy przecinają oś \(\displaystyle{ OY}\) w tym samym punkcie, bo w zerze wszystkie te wielomiany przyjmują tę samą wartość. Zobaczysz też, że wszystkie te wielomiany \(\displaystyle{ y=x^3-mx+2}\), których minimum jest mniejsze od zera, mają trzy pierwiastki. Policz, dla jakich \(\displaystyle{ m}\) to zachodzi, i zadanie jest rozwiązane.

Jak policzysz pochodną, to zobaczysz, że minimum jest dla \(\displaystyle{ x= \sqrt{ \frac{m}{3} }}\)

Wstaw ten iks do równania \(\displaystyle{ y=x^3-mx+2}\) i zobacz, dla jakich \(\displaystyle{ m}\) igrek będzie mniejszy od zera.

-- 3 maja 2015, o 21:28 --

musialmi pisze:[...] Ten wykres ma jedno maksimum lokalne i jedno minimum lokalne. [...]

A właśnie, że nie. Dla \(\displaystyle{ m \le 0}\) wielomian \(\displaystyle{ y=x^3-mx+2}\) nie ma ekstremów.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 3 maja 2015, o 23:07

Jak znasz rozwiązanie, to podać włsciwy argument jest dużo łatwiej

Wykresy funkcji \(\displaystyle{ f_m(x)=mx-2}\) tworzą pęk prostych przechodzących przez punkt \(\displaystyle{ (0,-2)}\). Jest oczywiste, że dla \(\displaystyle{ m\leq 0}\) taka prosta może przecinac się z wykresem funkcji \(\displaystyle{ g(x)=x^3}\) tylko raz. Dla dodatnich \(\displaystyle{ m}\) mamy na pewno jeden punkt przecięcia o ujemnej odciętej oraz 0,1 lub 2 punkty o odciętej dodatniej. Co więcej, jeżeli dla pewnego \(\displaystyle{ m_0}\) jest jeden taki punkt, to dla \(\displaystyle{ m<m_0}\) nie ma punktow przecięcia, a dla \(\displaystyle{ m>m_0}\) sa dwa. Wystarczy zatem sprawdzić, że dla \(\displaystyle{ m_0=3}\) jest jeden punkt, a to jest jasne, bo \(\displaystyle{ x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)}\)

musialmi · Post autor: **musialmi** » 4 maja 2015, o 08:43

Dilectus pisze:aja 2015, o 21:28 --

musialmi pisze:[...] Ten wykres ma jedno maksimum lokalne i jedno minimum lokalne. [...]
A właśnie, że nie. Dla \(\displaystyle{ m \le 0}\) wielomian \(\displaystyle{ y=x^3-mx+2}\) nie ma ekstremów.

No nie ma, nie ma, chciałem nadać jakiś nurt myślowy autorowi zadania przez lekkie nagięcie prawdy, żeby wiedział jakich warunków szukać. Ale ciii...