Udowodnij brak pierwiastków wymiernych

[arnold4]

Udowodnij, że wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^{5}+x^{4}+3x^{3}+2x^{2}+x+3^{120}}\) nie ma pierwiastków wymiernych.
Próbowałem to zadanie zrobić w ten sposób, że wyznaczałem przedziały, w których funkcja rośnie oraz szukałem przedziału, w którym znajdę miejsce zerowe (z twierdzenia Darboux). Zastanawiam się jednak, czy nie ma jakieś szybszej metody, niż szukania przedziału, w którym jest pierwiastek wielomianu i nie jest on dzielnikiem \(\displaystyle{ 3^{120}}\).
Mógłby ktoś poradzić?

[Gouranga]

Wyznacz minimum globalne z pochodnych.

[Zahion]

Zauważmy, że skoro współczynnik przy najwyższej potędze wynosi \(\displaystyle{ 1}\), to pierwiastek ten musi być liczbą całkowitą. Od razu też widać, że musi być podzielny przez \(\displaystyle{ 3}\) i być postaci \(\displaystyle{ -3^{k}}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in N}\).
Twierdzenie: Jeżeli liczba całkowita \(\displaystyle{ p \neq 1}\) jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach całkowitych to suma współczynników tego wielomianu jest podzielna przez \(\displaystyle{ p-1}\).
Suma współczynników naszego wielomianu wynosi \(\displaystyle{ 3^{120} + 8}\). Musi więc być \(\displaystyle{ -3^{k} - 1 | 3^{120} + 8}\). Liczba \(\displaystyle{ -3^{k} - 1}\) jest parzysta, natomiast \(\displaystyle{ 3^{120} + 8}\) nieparzysta, czyli dana podzielność nie może zajść.

[arnold4]

A czy jest inny sposób aby zrobić to zadanie? Bo szczerze mówiąc ja to twierdzenie widzę po raz pierwszy a jest to niby zadanie na poziomie liceum.

[Kaf]

Można tak: Wiemy, że jeżeli \(\displaystyle{ x}\) jest pierwiastkiem wymiernym tego wielomianu, to jest dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ 3^{120}}\), więc \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą nieparzystą. Mamy \(\displaystyle{ x^{5}+x^{4}+3x^{3}+2x^{2}+x+3^{120}=0}\), więc \(\displaystyle{ x^{5}+x^{4}+3x^{3}+x+3^{120}=-2x^{2}}\). Po lewej mamy sumę 5 liczb nieparzystych, czyli liczbę nieparzystą, a po prawej liczbę parzystą. Sprzeczność.