Reszta z dzielenia wielomianu

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
kadaweryna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 27 lut 2015, o 17:00
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Śląskie
Podziękował: 6 razy

Reszta z dzielenia wielomianu

Post autor: kadaweryna »

Zadanie. Wielomian \(\displaystyle{ W\left( x\right)}\) przy dzieleniu przez dwumiany \(\displaystyle{ \left( x-1\right) , \left( x+2\right) , \left( x+3\right)}\) daje odpowiednio reszty równe \(\displaystyle{ 5, 2, 27}\). Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6}\).

Zacznijmy od tego, co sama zrobiłam. Za pomocą schematu Hornera doszłam do tego, że wielomian \(\displaystyle{ P}\) ma formę iloczynową \(\displaystyle{ P(x)=\left( x-1\right)\left( x+2\right)\left( x+3\right)}\), jest to zatem iloczyn dwumianów, o których mowa w treści zadania. Z twierdzenia o reszcie wiemy, że resztą dzielenia wielomianu przez dwumian \(\displaystyle{ \left( x-a\right)}\) jest wartość tego wielomianu dla \(\displaystyle{ x=a}\). Niestety nie wiem jak skorzystać z tego twierdzenia, skoro wielomian \(\displaystyle{ P}\) nie ma postaci \(\displaystyle{ \left( x-a\right)}\) . Aha, rozpisywanie wielomianu za pomocą podanych dzielników i wartości reszt nie ma sensu, ponieważ i danych jest za mało, nie znamy dokładnie stopnia wielomianu i takich rzeczy jak np. wyraz wolny. Jakieś porady?
Ostatnio zmieniony 26 kwie 2015, o 16:51 przez Zahion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].
szachimat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1674
Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lubelskie
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 354 razy

Reszta z dzielenia wielomianu

Post autor: szachimat »

Reszta z dzielenia musi być wielomianem stopnia niższego, czyli \(\displaystyle{ R(x)=ax^2+bx+c}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(1)=R(1)=5\\W(-2)=R(-2)=2 \\ W(3)=R(3)=27 \end{cases}}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a \cdot 1^2+b \cdot 1+c=5\\a \cdot (-2)^2+b \cdot (-2)+c=2 \\ a \cdot 3^2+b \cdot 3+c=27 \end{cases}}\)
Po rozwiązaniu tego układu równań otrzymasz odpowiedź.
kadaweryna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 27 lut 2015, o 17:00
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Śląskie
Podziękował: 6 razy

Reszta z dzielenia wielomianu

Post autor: kadaweryna »

Ale w takim razie \(\displaystyle{ P\left( x\right)}\) jest \(\displaystyle{ 3}\) stopnia, więc \(\displaystyle{ W\left( x\right)}\) musi być stopnia czwartego, tak?
Ostatnio zmieniony 26 kwie 2015, o 16:52 przez Zahion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].
szachimat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1674
Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lubelskie
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 354 razy

Reszta z dzielenia wielomianu

Post autor: szachimat »

kadaweryna pisze:Ale w takim razie \(\displaystyle{ P\left( x\right)}\) jest \(\displaystyle{ 3}\) stopnia, więc \(\displaystyle{ W\left( x\right)}\) musi być stopnia czwartego, tak?
Nie. O wielomianie \(\displaystyle{ W(x)}\) nic więcej nie wiemy i nie musimy wiedzieć - może on być również st. 100-go. Jest to mało istotne. Ważne jest, że skoro dzielimy przez wielomian st. 3-go, to w reszcie jest wielomian niższego stopnia.
kadaweryna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 27 lut 2015, o 17:00
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Śląskie
Podziękował: 6 razy

Reszta z dzielenia wielomianu

Post autor: kadaweryna »

Ok, to dlaczego gdy dzielę przez dwumiany \(\displaystyle{ x-2}\) itd. to reszta jest stopnia \(\displaystyle{ 2}\)?
Ostatnio zmieniony 26 kwie 2015, o 16:53 przez Zahion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
szachimat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1674
Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lubelskie
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 354 razy

Reszta z dzielenia wielomianu

Post autor: szachimat »

Bo ze stopnia pierwszego, przez który dzielisz, otrzymujesz resztę stopnia zerowego.
kadaweryna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 27 lut 2015, o 17:00
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Śląskie
Podziękował: 6 razy

Reszta z dzielenia wielomianu

Post autor: kadaweryna »

No właśnie tak powinno być, a w układzie równań jest \(\displaystyle{ W\left( 1\right) =R\left( 1\right) =1^{2} \cdot a+b \cdot 1+c=5}\), czyli wychodzi z tego, że reszta z dzielenia przez wielomian stopnia \(\displaystyle{ 1}\). daje wielomian stopnia \(\displaystyle{ 2}\).
Ostatnio zmieniony 26 kwie 2015, o 16:54 przez Zahion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
szachimat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1674
Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lubelskie
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 354 razy

Reszta z dzielenia wielomianu

Post autor: szachimat »

Też nie do końca tak. Wartość wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) dla \(\displaystyle{ x=1}\) jest równa 5. Jest to zarazem wartość reszty \(\displaystyle{ R(x)}\) dla \(\displaystyle{ x=1}\).

Jeżeli:
\(\displaystyle{ \frac{W(X)}{(x-1)(x+2)(x-3)}=Q(x)+ \frac{R(x)}{(x-1)(x+2)(x-3)}}\)
to:
\(\displaystyle{ W(x)=Q(x) \cdot (x-1)(x+2)(x-3)+R(x)}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ W(1)=Q(x) \cdot 0+R(1)}\)
\(\displaystyle{ W(1)=R(1)}\)
Z jednej strony wiemy, że \(\displaystyle{ W(1)=5}\)
Z drugiej strony: \(\displaystyle{ R(x)=ax^2+bx+c}\), czyli \(\displaystyle{ R(1)=a \cdot 1^2+b \cdot 1+c}\)
kadaweryna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 27 lut 2015, o 17:00
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Śląskie
Podziękował: 6 razy

Reszta z dzielenia wielomianu

Post autor: kadaweryna »

Do przedostatniej linijki wszystko jest zrozumiałe, ale nie do końca jestem przekonana, dlaczego przyjmujemy że \(\displaystyle{ R\left( x\right)}\) ma ten sam wzór dla dzielenia przez oba wielomiany, no trochę mi się kłóci z tym równaniem \(\displaystyle{ W\left( x\right) =Q\left( x\right) \cdot \left( x-1\right)\left( x+2\right)\left( x+3\right) +R\left( x\right)}\) kwestia tego, że reszta ma być mniejsza o stopień od dzielnika. Te \(\displaystyle{ R}\) nie jest takie samo dla dzielenia przez \(\displaystyle{ x-1}\) i \(\displaystyle{ \left( x-1\right)\left( x+2\right)\left( x-3\right)}\) , chyba że \(\displaystyle{ R}\) jest takie samo, a \(\displaystyle{ Q\left( x\right)}\) warunkuje, koniec końców jest to ten sam wielomian, ale wtedy jak \(\displaystyle{ R\left( x\right)}\) jest takie samo to jest jakiegoś konkretnego stopnia, a nie mniejszego od dzielnika.
Ostatnio zmieniony 26 kwie 2015, o 17:01 przez Zahion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].
szachimat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1674
Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lubelskie
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 354 razy

Reszta z dzielenia wielomianu

Post autor: szachimat »

Patrząc na dwa ostatnie nasze posty, to tak mi namieszałaś, że nie bardzo rozumiem o co Ci chodzi:
"...a \(\displaystyle{ Q\left( x\right)}\) warunkuje, koniec końców jest to ten sam wielomian, ale wtedy jak \(\displaystyle{ R\left( x\right)}\) jest takie samo to jest jakiegoś konkretnego stopnia, a nie mniejszego od dzielnika." ????? - gdybym Ci za tydzień przepisał Twoje słowa i zapytał, co one znaczą, to chyba miałabyś problem z wyjaśnieniem. Ale skoro pytam o to dzisiaj, to może to sprecyzujesz.

A ja jeszcze raz powtórzę i troszeczkę zmodyfikuję zapis:
\(\displaystyle{ \frac{W(X)}{(x-1)(x+2)(x-3)}=Q(x)+ \frac{ax^2+bx+c}{(x-1)(x+2)(x-3)}}\)

\(\displaystyle{ W(x)=Q(x) \cdot (x-1)(x+2)(x-3)+ax^2+bx+c}\)

\(\displaystyle{ W(1)=Q(x) \cdot 0+a \cdot 1^2+b \cdot 1+c}\)

\(\displaystyle{ W(1)=a \cdot 1^2+b \cdot 1+c}\)

\(\displaystyle{ 5=a \cdot 1^2+b \cdot 1+c}\) - pierwsze równanie układu
kadaweryna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 27 lut 2015, o 17:00
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Śląskie
Podziękował: 6 razy

Reszta z dzielenia wielomianu

Post autor: kadaweryna »

Powoli, bo faktycznie namieszałam. Wielomian przedstawiamy w postaci \(\displaystyle{ W(x)=Q(x) \cdot P(x)+R(x)}\). Zapiszę też wielomian dla różnych \(\displaystyle{ P(x)}\). Po pierwsze: \(\displaystyle{ W(x)=Q(x) \cdot (x-1)+R(x)}\), po drugie: \(\displaystyle{ W(x)=Q(x) \cdot (x-1)(x+2)(x-3)+R(x)}\). Żeby te wielomiany były takie same, to muszą mieć różne albo \(\displaystyle{ Q(x)}\) albo \(\displaystyle{ R(x)}\). I w tym momencie pytam, skąd pewność, że to akurat reszty są takie same, a \(\displaystyle{ Q(x)}\) są różne?
szachimat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1674
Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lubelskie
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 354 razy

Reszta z dzielenia wielomianu

Post autor: szachimat »

To po pierwsze:
\(\displaystyle{ \frac{W(x)}{x-1}=Q _{1}(x)+ \frac{R _{1}(x) }{x-1}}\) i \(\displaystyle{ R_{1}(x)=C}\) (st. zerowy)

Po drugie:
\(\displaystyle{ \frac{W(x)}{\left( x-1\right)\left( x+2\right)}=Q _{2}(x)+ \frac{R _{2}(x) }{\left( x-1\right)\left( x+2\right)}}\) i \(\displaystyle{ R_{2}(x)=ax+b}\) (st. pierwszy)

\(\displaystyle{ \frac{W(x)}{\left( x-1\right)\left( x+2\right)\left( x-3\right) }=Q _{3}(x)+ \frac{R _{3}(x) }{\left( x-1\right)\left( x+2\right)\left( x-3\right) }}\) i \(\displaystyle{ R_{3}(x)=ax^2+bx+c}\) (st. drugi)

Mnożąc każde równanie przez wyrażenie z mianownika otrzymamy zawsze dalej: \(\displaystyle{ W(1)=R(1)}\)
Wielomiany \(\displaystyle{ Q(x)}\) mnożone są przez zero (a są zawsze inne)
A reszty, jako wielomiany, też w każdym przypadku są inne, natomiast wartości tych reszt dla \(\displaystyle{ x=1}\) (już jako konkretne liczby) wyjdą takie same.

Jak już to rozgryziesz, to spójrz jeszcze raz na mój pierwszy post, bo on na przyszłość powinien Ci wystarczyć przy tego typu zadaniach.

Szach i Mat
kadaweryna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 27 lut 2015, o 17:00
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Śląskie
Podziękował: 6 razy

Reszta z dzielenia wielomianu

Post autor: kadaweryna »

No faktycznie szach i mat, teraz już wiem co się skąd bierze, wielkie dzięki za pomoc i cierpliwość w pisaniu 3 razy tego samego, pozdrawiam
szachimat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1674
Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lubelskie
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 354 razy

Reszta z dzielenia wielomianu

Post autor: szachimat »

Dziękuję za docenienie moich wywodów. A z wami kobietami cierpliwość jest naprawdę potrzebna
MichalProg
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 411
Rejestracja: 28 cze 2011, o 21:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 62 razy
Pomógł: 1 raz

Reszta z dzielenia wielomianu

Post autor: MichalProg »

To ja spytam, bo mam pytanie o podobnej tematyce, które jest zbieżne z zagadnieniami z tego tematu.
szachimat pisze: \(\displaystyle{ \frac{W(X)}{(x-1)(x+2)(x-3)}=Q(x)+ \frac{R(x)}{(x-1)(x+2)(x-3)}}\)
Dlaczego?

Moim zdaniem:

\(\displaystyle{ \frac{W(X)}{(x-1)(x+2)(x-3)}=Q(x) \cdot (x-1)(x+2)(x-3) + R(x)}\)

A pytanie brzmi, dlaczego \(\displaystyle{ \frac{W(x)}{x - a} = W (a)}\)?

PS. OK, już doszedłem. Przecież \(\displaystyle{ W(x) = P(x)(x - p) + R(x)}\)
ODPOWIEDZ