Reszta z dzielenia wielomianu
-
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 27 lut 2015, o 17:00
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Śląskie
- Podziękował: 6 razy
Reszta z dzielenia wielomianu
Zadanie. Wielomian \(\displaystyle{ W\left( x\right)}\) przy dzieleniu przez dwumiany \(\displaystyle{ \left( x-1\right) , \left( x+2\right) , \left( x+3\right)}\) daje odpowiednio reszty równe \(\displaystyle{ 5, 2, 27}\). Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6}\).
Zacznijmy od tego, co sama zrobiłam. Za pomocą schematu Hornera doszłam do tego, że wielomian \(\displaystyle{ P}\) ma formę iloczynową \(\displaystyle{ P(x)=\left( x-1\right)\left( x+2\right)\left( x+3\right)}\), jest to zatem iloczyn dwumianów, o których mowa w treści zadania. Z twierdzenia o reszcie wiemy, że resztą dzielenia wielomianu przez dwumian \(\displaystyle{ \left( x-a\right)}\) jest wartość tego wielomianu dla \(\displaystyle{ x=a}\). Niestety nie wiem jak skorzystać z tego twierdzenia, skoro wielomian \(\displaystyle{ P}\) nie ma postaci \(\displaystyle{ \left( x-a\right)}\) . Aha, rozpisywanie wielomianu za pomocą podanych dzielników i wartości reszt nie ma sensu, ponieważ i danych jest za mało, nie znamy dokładnie stopnia wielomianu i takich rzeczy jak np. wyraz wolny. Jakieś porady?
Zacznijmy od tego, co sama zrobiłam. Za pomocą schematu Hornera doszłam do tego, że wielomian \(\displaystyle{ P}\) ma formę iloczynową \(\displaystyle{ P(x)=\left( x-1\right)\left( x+2\right)\left( x+3\right)}\), jest to zatem iloczyn dwumianów, o których mowa w treści zadania. Z twierdzenia o reszcie wiemy, że resztą dzielenia wielomianu przez dwumian \(\displaystyle{ \left( x-a\right)}\) jest wartość tego wielomianu dla \(\displaystyle{ x=a}\). Niestety nie wiem jak skorzystać z tego twierdzenia, skoro wielomian \(\displaystyle{ P}\) nie ma postaci \(\displaystyle{ \left( x-a\right)}\) . Aha, rozpisywanie wielomianu za pomocą podanych dzielników i wartości reszt nie ma sensu, ponieważ i danych jest za mało, nie znamy dokładnie stopnia wielomianu i takich rzeczy jak np. wyraz wolny. Jakieś porady?
Ostatnio zmieniony 26 kwie 2015, o 16:51 przez Zahion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex] .
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
-
- Użytkownik
- Posty: 1674
- Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: lubelskie
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 354 razy
Reszta z dzielenia wielomianu
Reszta z dzielenia musi być wielomianem stopnia niższego, czyli \(\displaystyle{ R(x)=ax^2+bx+c}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(1)=R(1)=5\\W(-2)=R(-2)=2 \\ W(3)=R(3)=27 \end{cases}}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a \cdot 1^2+b \cdot 1+c=5\\a \cdot (-2)^2+b \cdot (-2)+c=2 \\ a \cdot 3^2+b \cdot 3+c=27 \end{cases}}\)
Po rozwiązaniu tego układu równań otrzymasz odpowiedź.
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(1)=R(1)=5\\W(-2)=R(-2)=2 \\ W(3)=R(3)=27 \end{cases}}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a \cdot 1^2+b \cdot 1+c=5\\a \cdot (-2)^2+b \cdot (-2)+c=2 \\ a \cdot 3^2+b \cdot 3+c=27 \end{cases}}\)
Po rozwiązaniu tego układu równań otrzymasz odpowiedź.
-
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 27 lut 2015, o 17:00
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Śląskie
- Podziękował: 6 razy
Reszta z dzielenia wielomianu
Ale w takim razie \(\displaystyle{ P\left( x\right)}\) jest \(\displaystyle{ 3}\) stopnia, więc \(\displaystyle{ W\left( x\right)}\) musi być stopnia czwartego, tak?
Ostatnio zmieniony 26 kwie 2015, o 16:52 przez Zahion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex] .
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
-
- Użytkownik
- Posty: 1674
- Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: lubelskie
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 354 razy
Reszta z dzielenia wielomianu
Nie. O wielomianie \(\displaystyle{ W(x)}\) nic więcej nie wiemy i nie musimy wiedzieć - może on być również st. 100-go. Jest to mało istotne. Ważne jest, że skoro dzielimy przez wielomian st. 3-go, to w reszcie jest wielomian niższego stopnia.kadaweryna pisze:Ale w takim razie \(\displaystyle{ P\left( x\right)}\) jest \(\displaystyle{ 3}\) stopnia, więc \(\displaystyle{ W\left( x\right)}\) musi być stopnia czwartego, tak?
-
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 27 lut 2015, o 17:00
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Śląskie
- Podziękował: 6 razy
Reszta z dzielenia wielomianu
Ok, to dlaczego gdy dzielę przez dwumiany \(\displaystyle{ x-2}\) itd. to reszta jest stopnia \(\displaystyle{ 2}\)?
Ostatnio zmieniony 26 kwie 2015, o 16:53 przez Zahion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 27 lut 2015, o 17:00
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Śląskie
- Podziękował: 6 razy
Reszta z dzielenia wielomianu
No właśnie tak powinno być, a w układzie równań jest \(\displaystyle{ W\left( 1\right) =R\left( 1\right) =1^{2} \cdot a+b \cdot 1+c=5}\), czyli wychodzi z tego, że reszta z dzielenia przez wielomian stopnia \(\displaystyle{ 1}\). daje wielomian stopnia \(\displaystyle{ 2}\).
Ostatnio zmieniony 26 kwie 2015, o 16:54 przez Zahion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
-
- Użytkownik
- Posty: 1674
- Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: lubelskie
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 354 razy
Reszta z dzielenia wielomianu
Też nie do końca tak. Wartość wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) dla \(\displaystyle{ x=1}\) jest równa 5. Jest to zarazem wartość reszty \(\displaystyle{ R(x)}\) dla \(\displaystyle{ x=1}\).
Jeżeli:
\(\displaystyle{ \frac{W(X)}{(x-1)(x+2)(x-3)}=Q(x)+ \frac{R(x)}{(x-1)(x+2)(x-3)}}\)
to:
\(\displaystyle{ W(x)=Q(x) \cdot (x-1)(x+2)(x-3)+R(x)}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ W(1)=Q(x) \cdot 0+R(1)}\)
\(\displaystyle{ W(1)=R(1)}\)
Z jednej strony wiemy, że \(\displaystyle{ W(1)=5}\)
Z drugiej strony: \(\displaystyle{ R(x)=ax^2+bx+c}\), czyli \(\displaystyle{ R(1)=a \cdot 1^2+b \cdot 1+c}\)
Jeżeli:
\(\displaystyle{ \frac{W(X)}{(x-1)(x+2)(x-3)}=Q(x)+ \frac{R(x)}{(x-1)(x+2)(x-3)}}\)
to:
\(\displaystyle{ W(x)=Q(x) \cdot (x-1)(x+2)(x-3)+R(x)}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ W(1)=Q(x) \cdot 0+R(1)}\)
\(\displaystyle{ W(1)=R(1)}\)
Z jednej strony wiemy, że \(\displaystyle{ W(1)=5}\)
Z drugiej strony: \(\displaystyle{ R(x)=ax^2+bx+c}\), czyli \(\displaystyle{ R(1)=a \cdot 1^2+b \cdot 1+c}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 27 lut 2015, o 17:00
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Śląskie
- Podziękował: 6 razy
Reszta z dzielenia wielomianu
Do przedostatniej linijki wszystko jest zrozumiałe, ale nie do końca jestem przekonana, dlaczego przyjmujemy że \(\displaystyle{ R\left( x\right)}\) ma ten sam wzór dla dzielenia przez oba wielomiany, no trochę mi się kłóci z tym równaniem \(\displaystyle{ W\left( x\right) =Q\left( x\right) \cdot \left( x-1\right)\left( x+2\right)\left( x+3\right) +R\left( x\right)}\) kwestia tego, że reszta ma być mniejsza o stopień od dzielnika. Te \(\displaystyle{ R}\) nie jest takie samo dla dzielenia przez \(\displaystyle{ x-1}\) i \(\displaystyle{ \left( x-1\right)\left( x+2\right)\left( x-3\right)}\) , chyba że \(\displaystyle{ R}\) jest takie samo, a \(\displaystyle{ Q\left( x\right)}\) warunkuje, koniec końców jest to ten sam wielomian, ale wtedy jak \(\displaystyle{ R\left( x\right)}\) jest takie samo to jest jakiegoś konkretnego stopnia, a nie mniejszego od dzielnika.
Ostatnio zmieniony 26 kwie 2015, o 17:01 przez Zahion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex] .
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
-
- Użytkownik
- Posty: 1674
- Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: lubelskie
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 354 razy
Reszta z dzielenia wielomianu
Patrząc na dwa ostatnie nasze posty, to tak mi namieszałaś, że nie bardzo rozumiem o co Ci chodzi:
"...a \(\displaystyle{ Q\left( x\right)}\) warunkuje, koniec końców jest to ten sam wielomian, ale wtedy jak \(\displaystyle{ R\left( x\right)}\) jest takie samo to jest jakiegoś konkretnego stopnia, a nie mniejszego od dzielnika." ????? - gdybym Ci za tydzień przepisał Twoje słowa i zapytał, co one znaczą, to chyba miałabyś problem z wyjaśnieniem. Ale skoro pytam o to dzisiaj, to może to sprecyzujesz.
A ja jeszcze raz powtórzę i troszeczkę zmodyfikuję zapis:
\(\displaystyle{ \frac{W(X)}{(x-1)(x+2)(x-3)}=Q(x)+ \frac{ax^2+bx+c}{(x-1)(x+2)(x-3)}}\)
\(\displaystyle{ W(x)=Q(x) \cdot (x-1)(x+2)(x-3)+ax^2+bx+c}\)
\(\displaystyle{ W(1)=Q(x) \cdot 0+a \cdot 1^2+b \cdot 1+c}\)
\(\displaystyle{ W(1)=a \cdot 1^2+b \cdot 1+c}\)
\(\displaystyle{ 5=a \cdot 1^2+b \cdot 1+c}\) - pierwsze równanie układu
"...a \(\displaystyle{ Q\left( x\right)}\) warunkuje, koniec końców jest to ten sam wielomian, ale wtedy jak \(\displaystyle{ R\left( x\right)}\) jest takie samo to jest jakiegoś konkretnego stopnia, a nie mniejszego od dzielnika." ????? - gdybym Ci za tydzień przepisał Twoje słowa i zapytał, co one znaczą, to chyba miałabyś problem z wyjaśnieniem. Ale skoro pytam o to dzisiaj, to może to sprecyzujesz.
A ja jeszcze raz powtórzę i troszeczkę zmodyfikuję zapis:
\(\displaystyle{ \frac{W(X)}{(x-1)(x+2)(x-3)}=Q(x)+ \frac{ax^2+bx+c}{(x-1)(x+2)(x-3)}}\)
\(\displaystyle{ W(x)=Q(x) \cdot (x-1)(x+2)(x-3)+ax^2+bx+c}\)
\(\displaystyle{ W(1)=Q(x) \cdot 0+a \cdot 1^2+b \cdot 1+c}\)
\(\displaystyle{ W(1)=a \cdot 1^2+b \cdot 1+c}\)
\(\displaystyle{ 5=a \cdot 1^2+b \cdot 1+c}\) - pierwsze równanie układu
-
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 27 lut 2015, o 17:00
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Śląskie
- Podziękował: 6 razy
Reszta z dzielenia wielomianu
Powoli, bo faktycznie namieszałam. Wielomian przedstawiamy w postaci \(\displaystyle{ W(x)=Q(x) \cdot P(x)+R(x)}\). Zapiszę też wielomian dla różnych \(\displaystyle{ P(x)}\). Po pierwsze: \(\displaystyle{ W(x)=Q(x) \cdot (x-1)+R(x)}\), po drugie: \(\displaystyle{ W(x)=Q(x) \cdot (x-1)(x+2)(x-3)+R(x)}\). Żeby te wielomiany były takie same, to muszą mieć różne albo \(\displaystyle{ Q(x)}\) albo \(\displaystyle{ R(x)}\). I w tym momencie pytam, skąd pewność, że to akurat reszty są takie same, a \(\displaystyle{ Q(x)}\) są różne?
-
- Użytkownik
- Posty: 1674
- Rejestracja: 23 sty 2015, o 21:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: lubelskie
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 354 razy
Reszta z dzielenia wielomianu
To po pierwsze:
\(\displaystyle{ \frac{W(x)}{x-1}=Q _{1}(x)+ \frac{R _{1}(x) }{x-1}}\) i \(\displaystyle{ R_{1}(x)=C}\) (st. zerowy)
Po drugie:
\(\displaystyle{ \frac{W(x)}{\left( x-1\right)\left( x+2\right)}=Q _{2}(x)+ \frac{R _{2}(x) }{\left( x-1\right)\left( x+2\right)}}\) i \(\displaystyle{ R_{2}(x)=ax+b}\) (st. pierwszy)
\(\displaystyle{ \frac{W(x)}{\left( x-1\right)\left( x+2\right)\left( x-3\right) }=Q _{3}(x)+ \frac{R _{3}(x) }{\left( x-1\right)\left( x+2\right)\left( x-3\right) }}\) i \(\displaystyle{ R_{3}(x)=ax^2+bx+c}\) (st. drugi)
Mnożąc każde równanie przez wyrażenie z mianownika otrzymamy zawsze dalej: \(\displaystyle{ W(1)=R(1)}\)
Wielomiany \(\displaystyle{ Q(x)}\) mnożone są przez zero (a są zawsze inne)
A reszty, jako wielomiany, też w każdym przypadku są inne, natomiast wartości tych reszt dla \(\displaystyle{ x=1}\) (już jako konkretne liczby) wyjdą takie same.
Jak już to rozgryziesz, to spójrz jeszcze raz na mój pierwszy post, bo on na przyszłość powinien Ci wystarczyć przy tego typu zadaniach.
Szach i Mat
\(\displaystyle{ \frac{W(x)}{x-1}=Q _{1}(x)+ \frac{R _{1}(x) }{x-1}}\) i \(\displaystyle{ R_{1}(x)=C}\) (st. zerowy)
Po drugie:
\(\displaystyle{ \frac{W(x)}{\left( x-1\right)\left( x+2\right)}=Q _{2}(x)+ \frac{R _{2}(x) }{\left( x-1\right)\left( x+2\right)}}\) i \(\displaystyle{ R_{2}(x)=ax+b}\) (st. pierwszy)
\(\displaystyle{ \frac{W(x)}{\left( x-1\right)\left( x+2\right)\left( x-3\right) }=Q _{3}(x)+ \frac{R _{3}(x) }{\left( x-1\right)\left( x+2\right)\left( x-3\right) }}\) i \(\displaystyle{ R_{3}(x)=ax^2+bx+c}\) (st. drugi)
Mnożąc każde równanie przez wyrażenie z mianownika otrzymamy zawsze dalej: \(\displaystyle{ W(1)=R(1)}\)
Wielomiany \(\displaystyle{ Q(x)}\) mnożone są przez zero (a są zawsze inne)
A reszty, jako wielomiany, też w każdym przypadku są inne, natomiast wartości tych reszt dla \(\displaystyle{ x=1}\) (już jako konkretne liczby) wyjdą takie same.
Jak już to rozgryziesz, to spójrz jeszcze raz na mój pierwszy post, bo on na przyszłość powinien Ci wystarczyć przy tego typu zadaniach.
Szach i Mat
-
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 27 lut 2015, o 17:00
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Śląskie
- Podziękował: 6 razy
Reszta z dzielenia wielomianu
No faktycznie szach i mat, teraz już wiem co się skąd bierze, wielkie dzięki za pomoc i cierpliwość w pisaniu 3 razy tego samego, pozdrawiam
-
- Użytkownik
- Posty: 411
- Rejestracja: 28 cze 2011, o 21:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 62 razy
- Pomógł: 1 raz
Reszta z dzielenia wielomianu
To ja spytam, bo mam pytanie o podobnej tematyce, które jest zbieżne z zagadnieniami z tego tematu.
Moim zdaniem:
\(\displaystyle{ \frac{W(X)}{(x-1)(x+2)(x-3)}=Q(x) \cdot (x-1)(x+2)(x-3) + R(x)}\)
A pytanie brzmi, dlaczego \(\displaystyle{ \frac{W(x)}{x - a} = W (a)}\)?
PS. OK, już doszedłem. Przecież \(\displaystyle{ W(x) = P(x)(x - p) + R(x)}\)
Dlaczego?szachimat pisze: \(\displaystyle{ \frac{W(X)}{(x-1)(x+2)(x-3)}=Q(x)+ \frac{R(x)}{(x-1)(x+2)(x-3)}}\)
Moim zdaniem:
\(\displaystyle{ \frac{W(X)}{(x-1)(x+2)(x-3)}=Q(x) \cdot (x-1)(x+2)(x-3) + R(x)}\)
A pytanie brzmi, dlaczego \(\displaystyle{ \frac{W(x)}{x - a} = W (a)}\)?
PS. OK, już doszedłem. Przecież \(\displaystyle{ W(x) = P(x)(x - p) + R(x)}\)