Pierwiastki równania czwartego stopnia

[Poszukujaca]

Jak znaleźć pierwiastki takiego równania?
\(\displaystyle{ x^{4}+4x^{3}+4x^{2}+2x+2=0}\)

Twierdzenie o pierwoastkach wymiernych tutaj nie zadziała. Domyślam się, że równanie to będzie miało dwa ujemne niewymierne pierwiastki, tylko jak je wyznaczyć? Może skorzystać z jakiegoś podstawienia?

[a4karo]

[Poszukujaca]

Stosując redukcję przypadku ogólnego otrzymałam: \(\displaystyle{ u^{4}-4u^{2}+2u+1=0}\).
Łatwo można znależć pierwszy pierwiastek i mamy : \(\displaystyle{ (u-1)(u^{3}+u^{2}-3u-1) =0}\)
Teraz nie wiem, jak rozwiązać to równanie trzeciego stopnia.

[a4karo]

Znajdz na Wiki jak się rozwiązuje równania trzeciego stopnia.
Z ciekawości, jak sie ma \(\displaystyle{ x}\) do \(\displaystyle{ u}\)?

[Poszukujaca]

Wyszło mi, że \(\displaystyle{ x=u-1}\)

[a4karo]

No to z Twojej postaci wynika, że \(\displaystyle{ x=0}\) jest rozwiązaniem oryginalnego równania. A to przecież nieprawda.

[Poszukujaca]

Rzeczywiście. Musiałam zrobić jakiś błąd w obliczeniach. Ale podstawienie na pewno trzeba zrobić takie: \(\displaystyle{ x=u-1}\).

[a4karo]

Wyliczone wzorki będą zdecydowanie paskudne (i nikomu do niczego nieprzydatne). Nie lepiej zadowolić sie wartościami przybliżonymi, które policzy np WolframAlpha?

[Poszukujaca]

Jasne, że można się nimi zadowolić Po prostu byłam ciekawa jak policzyć takie pierwiastki

[Mariusz M]

Tutaj jest sposób przedstawiony na przykładzie

243327.htm#p911149

Tutaj Vax opisuje redukcję równania czwartego stopnia do równania trzeciego stopnia
na swoim przykładzie

227371.htm#p843008

Poczytaj sobie

Kod: Zaznacz cały

http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1110.pdf