Niech \(\displaystyle{ P\left( x\right)}\) bedzie wielomianem o współczynnikach całkowitych. Udowodnic, ze jezeli wielomian
\(\displaystyle{ Q\left( x\right) = P\left( x\right) + 12}\) ma co najmniej szesc róznych pierwiastków całkowitych to \(\displaystyle{ P\left( x\right)}\) nie ma
pierwiastków całkowitych.
Wielomian o współczynnikach całkowitych
-
-joanna-white-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 1 mar 2014, o 12:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: jarosław
- Podziękował: 8 razy
Wielomian o współczynnikach całkowitych
Ostatnio zmieniony 17 kwie 2015, o 16:30 przez Zahion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
Zahion
- Moderator
- Posty: 2095
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
- Podziękował: 139 razy
- Pomógł: 504 razy
Wielomian o współczynnikach całkowitych
Załóżmy przeciwnie, że dla pewnego \(\displaystyle{ t}\) zachodzi \(\displaystyle{ P \left( t\right) = 0}\), wtedy \(\displaystyle{ Q\left( t\right) = 12}\). Zauważmy, że po lewej stronie mamy iloczyn co najmniej \(\displaystyle{ 6}\) różnych liczb całkowitych z których żadna nie jest zerem. Oczywiście ten iloczyn nie może wynosić \(\displaystyle{ 12}\).
Oczywiście skoro wielomian \(\displaystyle{ P}\) ma współczynniki całkowite, to to samo możemy powiedzieć o wielomianie \(\displaystyle{ Q}\), skoro jest sumą wielomianu \(\displaystyle{ P}\) i liczby \(\displaystyle{ 12}\).
Oczywiście skoro wielomian \(\displaystyle{ P}\) ma współczynniki całkowite, to to samo możemy powiedzieć o wielomianie \(\displaystyle{ Q}\), skoro jest sumą wielomianu \(\displaystyle{ P}\) i liczby \(\displaystyle{ 12}\).