Parametr m wielomianu.

mich12 · Post autor: **mich12** » 13 kwie 2015, o 20:11

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m,k \in R}\), równanie \(\displaystyle{ x ^{3} +mx +k=0}\) ma trzy pierwiastki \(\displaystyle{ x _{1},x _{2},x _{3}}\), takie że \(\displaystyle{ x _{1}= x _{2} =x _{3}+6}\) ?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 13 kwie 2015, o 20:15

Wskazówka: użyj wzorów Viete'a.

mich12 · Post autor: **mich12** » 13 kwie 2015, o 20:25

Ale wzorów Viete'a dla funkcji kwadratowej?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 13 kwie 2015, o 20:30

Dla trzeciego stopnia.

Ps. Popraw równanie.

mich12 · Post autor: **mich12** » 13 kwie 2015, o 20:40

Po zastosowaniu wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ 3x ^{2} _{1}-12x _{1}-m=0}\) oraz \(\displaystyle{ x ^{3} _{1}-6 x ^{2} _{1}+k=0}\)
Co dalej? Delta ma być równa\(\displaystyle{ 0}\) w każdym z przypadków?

bakala12 · Post autor: **bakala12** » 13 kwie 2015, o 20:59

Słabo Ci to wyszło...
Spróbuj tak:
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}=x_{3}+6+x_{3}+6+x_{3}=0}\)
Wylicz stąd wszystkie pierwiastki, a potem z pozostałych dwóch wzorów Viete'a wartości obu parametrów.

mich12 · Post autor: **mich12** » 13 kwie 2015, o 21:20

Wyszły mi pierwiastki, ale liczyłem tylko z tego wzoru, bez użycia innych Viete'a:
\(\displaystyle{ - \frac{b}{a} = x _{1}+ x _{2} +x _{3}}\)
\(\displaystyle{ 0= x _{1}+ x _{1} + x _{1}-6}\)
\(\displaystyle{ x _{1}= 2}\)
\(\displaystyle{ x _{1}=2; x _{2}=2; x _{3}= -4}\)

Czyli wzór funkcji będzie wyglądał:
\(\displaystyle{ (x-2) ^{2}(x+4)= x ^{3}-12x +16=0}\)
z tego \(\displaystyle{ m=-12; k=16}\) ?
Można w ten sposób?

bakala12 · Post autor: **bakala12** » 14 kwie 2015, o 01:01

Wygląda dobrze.