Rozkład wielomianu 3 stopnia

[marioasd]

Witam, mam problem z następującym przykładem.Treść zadania: Wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) ma trzy pierwiastki rzeczywiste, oblicz sumę kwadratów pierwiastków tego wielomianu. Nie wiem z której strony mam to zacząć, próbowałem coś wyciągnąć przed nawias, ale bezskutecznie
\(\displaystyle{ W(x)=x^{3} +( \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} ) x^{2} +( \sqrt{6} + \sqrt{10} + \sqrt{15} )x + \sqrt{30}}\)

[jutrvy]

Rozważ postać iloczynową:

\(\displaystyle{ x^3 + ax^2 + bx + c = (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) = \ldots}\) tu ładnie wymnóż i zobacz, czym będą sumy pierwiastków (wyprowadź wzory Viete'a dla wielomianów stopnia trzy).

[Medea 2]

Nie wiem, czy trzeba wymnażać, przecież ze wzorów pana V. można bezboleśnie skorzystać. Mamy \(\displaystyle{ (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ac)}\), a Ty znasz sumę pierwiastków i sumę podwójnych iloczynów.

[marioasd]

ok więc zapisałem to w tej postaci i zacząłem liczyć, ale topornie to szło, więc zajrzałem do odpowiedzi i mamy:
1.Zauważenie, że \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) jest pierwiastkiem wielomianu.
2Wyznaczenie pozostałych pierwiastków wielomianu: \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\)
Jak oni to zauważyli?

[Premislav]

Nie wiem, bo tak w ogóle to nieprawda, chyba że źle przepisałeś wielomian.
Z Viete'a chyba najładniej pójdzie. A ten fragment rozwiązania autorów sugeruje, że wielomian powinien być taki:
\(\displaystyle{ W(x)=x^{3} -( \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} ) x^{2} +( \sqrt{6} + \sqrt{10} + \sqrt{15} )x + \sqrt{30}}\)
czyli autorzy napisali zły wielomian lub pomyśleli o złym wielomianie, pisząc rozwiązanie.

[marioasd]

Ok dziękuje wszystkim za pomoc. Wielomian przepisałem dobrze, widać oni musięli się machnąć mógłbyś jeszcze wytłumaczyć mi w tym twoim poprawionym przykładzie jak zauważyć, że \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) jest pierwiastkiem?

[Medea 2]

Premislav, wydaje mi się, że wersja z plusem jest przyjemniejsza, pierwiastkami są wtedy \(\displaystyle{ -\sqrt2,-\sqrt3,-\sqrt5}\). A jak jest minus, to pierwiastek rzeczywisty jest tylko jeden, prawda?

[Premislav]

Tak teraz patrzę i wychodzi na to, że z kolei ja się je... pomyliłem w obliczeniach.
Wielomian jest OK, tylko autorzy się pomylili ze znakami pierwiastków - tak se zgaduję, bo wtedy to będzie miało sens. Można od razu wyliczyć z Viete'a sumę pierwiastków i sumę podwojonych iloczynów, by to wykorzystać tak, jak proponowała Medea 2 (i to jest fajne rozwiązanie).
A można się pobawić w grupowanie:
\(\displaystyle{ W(x)=x^{3}+\sqrt{2}x^{2}+(\sqrt{3}+\sqrt{5})x^{2}+\sqrt{2}(\sqrt{3}+\sqrt{5})x+\sqrt{15}x+\sqrt{2}\cdot\sqrt{15}}\)
i teraz coś się powinno rzucać w oczy.
@Medea 2: słusznie.

[a4karo]

Widać, że \(\displaystyle{ -\sqrt{2},-\sqrt{3},-\sqrt{5}}\) sa pierwiastkami własnie ze wzorów Viete'a:
\(\displaystyle{ -(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})}\) to ich suma
\(\displaystyle{ \sqrt{6},\sqrt{10},\sqrt{15}}\) to iloczyny "po dwa" zaś
\(\displaystyle{ -\sqrt{30}}\) to iloczyn wszystkich.

I po tajemnicy