Nierówność wykładnicza

[Wychowany]

Kod: Zaznacz cały

https://konkurs.mini.pw.edu.pl/node/12109

Czy ktoś mógłby mi wyjaśnić, dlaczego w zadaniu 1 w rozważamy tylko \(\displaystyle{ x \in \left( 2; \infty \right)}\), a nie wszystkie liczby rzeczywiste? Przecież na pewno znajdzie się jakaś liczba ujemna, taka że wykładnik będzie parzysty dodatni, a podstawa będzie liczbą \(\displaystyle{ <-1}\)

[bartek118]

Z określenia funkcji. Przecież
\(\displaystyle{ f(x)^{g(x)} := e^{g(x) \ln f(x),}\)
więc \(\displaystyle{ f(x) > 0}\).

[Medea 2]

Funkcja potęgowa, która przyporządkowuje (dla ustalonego \(\displaystyle{ p}\)) liczbie \(\displaystyle{ x}\) wartość \(\displaystyle{ x^p}\) jest nieokreślona dla ujemnych argumentów.

[Wychowany]

Funkcja potęgowa, która przyporządkowuje (dla ustalonego \(\displaystyle{ p}\)) liczbie \(\displaystyle{ x}\) wartość \(\displaystyle{ x^p}\) jest nieokreślona dla ujemnych argumentów.

Trochę nie rozumiem, co znaczy ustalone P. Znaczy to, że jest stałe? No bo ta funkcja potęgowa ma w wykładniku funkcję, czyli nieustaloną zmienną. Trochę ciężko to sobie wyobrazić, że są ujemne x które spełniają tą nierówność, a jednak jest nieokreślona. Dziękuję za pomoc.

[bartek118]

Wracając jeszcze raz do tego co napisałem - trzeba się przyjrzeć jak definiujemy \(\displaystyle{ f(x)^{g(x)}}\)

[Wychowany]

Wracając jeszcze raz do tego co napisałem - trzeba się przyjrzeć jak definiujemy \(\displaystyle{ f(x)^{g(x)}}\)

A czy co to napisałeś, to przypadkiem nie jest pochodna funkcji? Nigdzie nie mogłem znaleźć jak się definuję taką funkcję, za to wiem, że jest to pochodna.

[bartek118]

Nie, to nie jest pochodna. A definicja jest taka jak podałem
\(\displaystyle{ f(x)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)},}\)
więc z natury rzeczy \(\displaystyle{ f(x) > 0}\).

[Wychowany]

Dobra rozumiem, dzięki

[musialmi]

Wracając jeszcze raz do tego co napisałem - trzeba się przyjrzeć jak definiujemy \(\displaystyle{ f(x)^{g(x)}}\)

A tak właściwie, to gdzie to jest napisane? To jest jakieś common knowledge? Na pewno nie można nazwać tego oczywistością - nie widzę przeszkód, żeby obliczyć \(\displaystyle{ f(-1)}\) dla \(\displaystyle{ f(x)=x^x}\).

[szachimat]

Wracając jeszcze raz do tego co napisałem - trzeba się przyjrzeć jak definiujemy \(\displaystyle{ f(x)^{g(x)}}\)

A tak właściwie, to gdzie to jest napisane? To jest jakieś common knowledge? Na pewno nie można nazwać tego oczywistością - nie widzę przeszkód, żeby obliczyć \(\displaystyle{ f(-1)}\) dla \(\displaystyle{ f(x)=x^x}\).

Szczerze mówiąc, też nie do końca to rozumiem, a napisanie, że \(\displaystyle{ f(x)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}\) można przecież uznać za nieprawdziwe, gdyż lepiej byłoby \(\displaystyle{ f(x)^{g(x)} = e^{g(x) \ln \left| f(x)\right|}\)
Ale przyznaję, mimo moich wątpliwości, że rzeczywiście tak się przyjmuje, że podstawa jest dodatnia.

[bartek118]

Wracając jeszcze raz do tego co napisałem - trzeba się przyjrzeć jak definiujemy \(\displaystyle{ f(x)^{g(x)}}\)

A tak właściwie, to gdzie to jest napisane? To jest jakieś common knowledge? Na pewno nie można nazwać tego oczywistością - nie widzę przeszkód, żeby obliczyć \(\displaystyle{ f(-1)}\) dla \(\displaystyle{ f(x)=x^x}\).

Jak dla mnie to jest common knowledge. Jak w takim razie w inny sposób określisz
\(\displaystyle{ f(x)^{g(x)}?}\)
OK, powiedzmy, że chcielibyśmy określić tak jak się określa potęgę rzeczywistą, tzn. ustalmy sobie \(\displaystyle{ x}\), niech \(\displaystyle{ q_n}\) będzie dowolnym ciągiem liczb wymiernych zbieżnym do \(\displaystyle{ g(x)}\) i określamy
\(\displaystyle{ f(x)^{g(x)} := \lim_{n \to \infty} f(x)^{q_n}}\)
I mamy problem... bo definicja potęgi rzeczywistej mówi, że wartość ta istnieje, gdy dla dowolnego \(\displaystyle{ q_n}\) mamy zbieżność, i to do tej samej liczby, a tu, jeśli \(\displaystyle{ f(x) \leq 0}\), to dla nieskończenie wielu \(\displaystyle{ q_n}\), nawet tym bliskim wartością do \(\displaystyle{ g(x)}\) wartość liczbowa powyższego wyrażenia nie istnieje. Dlatego, takie określenie ma sens dla \(\displaystyle{ f(x) > 0}\). Ale, dla \(\displaystyle{ f(x) > 0}\) mamy równoważną, prostszą definicję:
\(\displaystyle{ f(x)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)},}\)
więc nikt nie bawi się powyższą. Jednak z natury rzeczy jak widać musi być \(\displaystyle{ f(x) > 0}\).
Zauważmy, że inaczej po prostu nie da się określić \(\displaystyle{ f(x)^{g(x)}}\) - nie da się tego określić np. jako złożenie odwzorowań (tak wprost, bo formalnie jest to złożenie logarytmu, tych funkcji, funkcji wykładniczej).