musialmi pisze:bartek118 pisze:Wracając jeszcze raz do tego co napisałem - trzeba się przyjrzeć jak definiujemy \(\displaystyle{ f(x)^{g(x)}}\)
A tak właściwie, to gdzie to jest napisane? To jest jakieś common knowledge? Na pewno nie można nazwać tego oczywistością - nie widzę przeszkód, żeby obliczyć
\(\displaystyle{ f(-1)}\) dla
\(\displaystyle{ f(x)=x^x}\).
Jak dla mnie to jest common knowledge. Jak w takim razie w inny sposób określisz
\(\displaystyle{ f(x)^{g(x)}?}\)
OK, powiedzmy, że chcielibyśmy określić tak jak się określa potęgę rzeczywistą, tzn. ustalmy sobie
\(\displaystyle{ x}\), niech
\(\displaystyle{ q_n}\) będzie dowolnym ciągiem liczb wymiernych zbieżnym do
\(\displaystyle{ g(x)}\) i określamy
\(\displaystyle{ f(x)^{g(x)} := \lim_{n \to \infty} f(x)^{q_n}}\)
I mamy problem... bo definicja potęgi rzeczywistej mówi, że wartość ta istnieje, gdy dla dowolnego
\(\displaystyle{ q_n}\) mamy zbieżność, i to do tej samej liczby, a tu, jeśli
\(\displaystyle{ f(x) \leq 0}\), to dla nieskończenie wielu
\(\displaystyle{ q_n}\), nawet tym bliskim wartością do
\(\displaystyle{ g(x)}\) wartość liczbowa powyższego wyrażenia nie istnieje. Dlatego, takie określenie ma sens dla
\(\displaystyle{ f(x) > 0}\). Ale, dla
\(\displaystyle{ f(x) > 0}\) mamy równoważną, prostszą definicję:
\(\displaystyle{ f(x)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)},}\)
więc nikt nie bawi się powyższą. Jednak z natury rzeczy jak widać musi być
\(\displaystyle{ f(x) > 0}\).
Zauważmy, że inaczej po prostu nie da się określić
\(\displaystyle{ f(x)^{g(x)}}\) - nie da się tego określić np. jako złożenie odwzorowań (tak wprost, bo formalnie jest to złożenie logarytmu, tych funkcji, funkcji wykładniczej).